福建省宁德市蕉城第九中学高三数学理下学期期末试题含解析

福建省宁德市蕉城第九中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 的值为（      ） （A）     （B）    （C）     （D）1 参考答案： A 2. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，然后求解几何体的体积即可． 【详解】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥为三视图还原后的几何体， CBA和ACD是两个全等的直角三角形；，几何体的体积为：， 故选C 【点睛】本题考查由三视图求体积，解决本题的关键是还原该几何体的形状． 3. 将正方形沿对角线折成直二面角后，有下列四个结论： （1）                     （2）是等边三角形 （3）与平面的夹角成60°   （4） 与所成的角为60°        其中正确的命题有                                                                                                   （    ）        A．1个                B．2个               C．3个            D ．4个 参考答案： C 4. 已知变量满足约束条件，则的最小值为(     ) A．            B．            C．     D． 参考答案： 5. 对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是(     ) A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 参考答案： D 【考点】函数的值． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】求出f（1）和f（﹣1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（﹣1）为偶数． 【解答】解：f（1）=asin1+b+c  ① f（﹣1）=﹣asin1﹣b+c  ② ①+②得： f（1）+f（﹣1）=2c ∵c∈Z ∴f（1）+f（﹣1）是偶数 故选：D 【点评】本题考查知函数的解析式求函数值、考查偶数的特点． 6. 在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足=（sin2θ）+（cos2θ）（θ∈R），则（+）?的最小值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；平面向量及应用． 【分析】由向量的线性运算法则和sin2θ+cos2θ=1，化简得=cos2θ?，所以点P是线段OC上的点，由此可得（+）?=2?，则（+）?表示为以||=t为自变量的二次函数式，利用二次函数的性质加以计算，可得所求最小值． 【解答】解：∵ =（sin2θ）+（cos2θ）（θ∈R）， 且sin2θ+cos2θ=1， ∴=（1﹣cos2θ）+（cos2θ）=+cos2θ?（﹣）， 即﹣=cos2θ?（﹣）， 可得=cos2θ?， 又∵cos2θ∈[0，1]，∴P在线段OC上， 由于AB边上的中线CO=2， 因此（+）?=2?，设||=t，t∈[0，2]， 可得（+）?=﹣2t（2﹣t）=2t2﹣4t=2（t﹣1）2﹣2， ∴当t=1时，（ +）?的最小值等于﹣2． 故选C． 【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题． 7. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的全面积是（  ） A． a    B． a  C． a    D． a  参考答案： A 8. 如下图是函数图像的一部分，则   （     ） A.   B. C.     D. 参考答案： C 略 9. 已知向量满足,且,则在方向的投影为（　） A．3 B．. C． D． 参考答案： B 略 10. 设α为锐角，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】GI：三角函数的化简求值． 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值． 【分析】先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值． 【解答】解：∵α为锐角，若， 设β=α+， ∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=﹣，cos2β=2cos2β﹣1=﹣， ∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin =（﹣）×﹣（﹣）×=． 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是　　． 参考答案： 30 【考点】分层抽样方法． 【分析】根据分层抽样的定义，即可确定甲校抽取的人数． 【解答】解：∵甲校，乙校，丙校的学生的人数之比为：3600：5400：1800=2：3：1， ∴抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数为：， 故答案为：30． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和应用，根据分层抽样的定义确定对应的抽取比例是解决本题的关键，比较基础． 12. 设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率为        。 参考答案： 13. 复数在复平面上对应的点的坐标为          . 参考答案： (0,-1) 试题分析：由题首先化简所给复数，然后根据复数第对应的复平面上的点即可判断对应坐标； 由题 ，所以对应坐标为(0,-1). 考点：复数几何性质 14. 已知对于任意实数，函数满足. 若方程有2011个实数解，则这2011个实数解之和为     参考答案： 0 略 15. 已知等比数列满足：则        ． 参考答案： . 试题分析：设等比数列的公比为，则由得，于是可得，所以，故应填. 考点：1、等比数列； 16. （﹣）5的展开式的常数项为　　（用数字作答）． 参考答案： ﹣10 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题；二项式定理． 【分析】在（﹣）5展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式的常数项． 【解答】解：由于（﹣）5展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?， 令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10， 故答案为：﹣10． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 17. 已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线， 其余各边均在此直线的同侧），且，，，， 则平面四边形面积的最大值为　       ． 参考答案： 设AC=,在中由余弦定理有 同理，在中，由余弦定理有：， 即①， 又平面四边形面积为， 即②.  ①②平方相加得 ， 当时，取最大值. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 济南高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设f（n）表示前n年的纯收入．（f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额） （Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？ （Ⅱ）若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以480万元出售该企业； ②纯利润最大时，以160万元出售该企业； 问哪种方案最合算？ 参考答案： 解：由题意知每年的运营费用是以120为首项，40为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f（n）， 设．（Ⅰ）获取纯利润就是要求f（n）＞0，故有﹣20n2+400n﹣720＞0，解得2＜n＜18．又n∈N*，知从第三年开始获取纯利润． （Ⅱ）①年平均利润，当且仅当n=6时取等号．故此方案获利6×160+480=1440（万元），此时n=6． ②f（n）=﹣20n2+400n﹣720=﹣20（n﹣10）2+1280，当n=10时，f（n）max=1280． 故此方案共获利1280+160=1440（万元）． 比较两种方案，在同等数额获利的基础上，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案． 略 19. 已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程． 参考答案： 【分析】由展开得，再利用互化公式即可得出． 【解答】解：由展开得， 又ρcosθ=x，ρsinθ=y， ∴曲线C的直角坐标方程为． 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 20. （本小题满分12分）已知 ，求的最小值和最大值． 参考答案： 作出满足不等式的可行域，如右图所示. 作直线               …6分 ………12分 21.       已知函数，∈R．     （I）讨论函数的单调性；     （Ⅱ）当时，≤恒成立，求的取值范围．   请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号。       参考答案： 解：（Ⅰ）的定义域为， 若则在上单调递增，……………2分 若则由得，当时，当 时，，在上单调递增，在单调递减． 所以当时，在上单调递增， 当时， 在上单调递增，在单调递减．……………4分 （Ⅱ）, 令, ,令, ,………………6分 , , ．……………8分 （2）, 以下论证．……………10分 , , , 综上所述，的取值范围是………………12分   22. （本题满分14分）．   已知函数． （1）当时，函数取得极大值，求实数的值； （2）已知函数，在区间内存在唯一，使得. 设函数（其中），证明：对任意，都有； （3）已知正数满足，求证：对任意的实数，若时，都有. 参考答案： (1)由题设，函数的定义域为，且 所以，得，此时. …………………2分 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减. 函数在处取得极大值，故   …………4分（不检验只扣一分） （2）令， 则.因为函数在区间上可导，则根据结论可知：存在使得  …7分 又， 当时，，从而单调递增，； 当时，，从而单调递减，； 故对任意，都有          .  …………………………9分 （3）因为且，， 同理，       …………………………12分 由（Ⅱ）知对任意，都有，从而 ．       …………………………14分