湖北省鄂州市旭光中学高三数学文期末试题含解析

湖北省鄂州市旭光中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数在(m,n)上的导数分别为,且,则当时,有（   ） A. .                     B. C.            D. 参考答案： D 2. 在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当Sn最大时，n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 参考答案： B 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】根据所给的等差数列的S16＞0且S17＜0，根据等差数列的前n项和公式，看出第9项小于0，第8项和第9项的和大于0，得到第8项大于0，这样前8项的和最大． 【解答】解：∵等差数列{an}中，S16＞0且S17＜0， 即S16=， S17==17a9＜0， ∴a8+a9＞0，a9＜0， ∴a8＞0， ∴数列的前8项和最大． 故答案为：8． 【点评】本题考查等差数列的性质和前n项和，以及等差数列的性质，解题的关键是熟练运用等差数列的性质得出已知数列的项的正负． 3. 一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r． 【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r， 则10﹣r+10﹣r=10cm， ∴r=10﹣5≈3cm． 故选：A． 4. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为    A.       B.          C.           D. 参考答案： C【知识点】几何体的结构，旋转组合体的性质.G1 解析：根据题意得，圆锥的轴截面是等边三角形，其内切圆半径为1，则高为3，所以此三角形边长为，所以圆锥的体积为: ,故选C. 【思路点拨】由已知得此组合体的结构：圆锥的轴截面是等边三角形，其内切圆半径为1，由此得圆锥的体积. 5. 已知函数f（x）=有3个零点，则实数a的取值范围是（　　） A．（，1） B．（，1） C．（0，1） D．（﹣∞，1） 参考答案： A 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】令f（x）在（﹣2，0]上有2个零点，在（0，+∞）上有1个零点，根据函数类型及零点范围及个数列出不等式组，解出a的范围． 【解答】解：∵f（x）由3个零点，∴f（x）在（﹣2，0]上有2个零点，在（0，+∞）上有1个零点． ∴，解得＜a＜1． 故选：A． 6. 由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为 (　　)． A.       B．4          C.       D．6 参考答案： A 7. 函数的定义域是 A．                 B．   C．                     D． 参考答案： D 略 8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(sin B+sin C)2-sin2(B+C)＝3sin Bsin C，且a＝2，则△ABC的面积的最大值是 A．  B．  C．  D．4 参考答案： B 9. 已知定义在上的函数满足，当时， 且时，恒成立，则的最小值是 A．                          B．                C．                                  D ． 参考答案： D 10. 若a＞b＞1，P=，则(     ) A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q 参考答案： B 【考点】基本不等式． 【专题】计算题． 【分析】由平均不等式知．． 【解答】解：由平均不等式知． 同理． 故选B． 【点评】本题考查均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a9+a11=30，则S13=         ． 参考答案： 130 【考点】等差数列的前n项和． 【专题】转化思想；整体思想；等差数列与等比数列． 【分析】由题意和等差数列的性质可得a7，再由等差数列的性质和求和公式可得S13=13a7，代值计算可得． 【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a9+a11=a1+a11+a9 =a5+a7+a9=3a7=30，解得a7=10， ∴S13===13a7=130， 故答案为：130． 【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，求出数列a7是解决问题的关键，属基础题． 12. 设都是定义在R上的函数，且在数列中，任取前k项相加，则前k项和大于的概率为         参考答案： 略 13. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为_______ 参考答案： 108（石）. 【分析】 根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果. 【详解】因为256粒内夹谷18粒， 故可得米中含谷的频率为， 则1536石中米夹谷约为1536（石）. 故答案为：（石）. 【点睛】本题考查由样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，属基础题. 14. 等差数列各项都是正数，且，则它的前10项和等于      参考答案： 15 15. 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足： （i）（ii）对任意 那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ① ② ③ 其中，“保序同构”的集合对的序号是_______。（写出“保序同构”的集合对的序号）。 参考答案： ①②③ 16. (几何证明选讲选做题)已知PA是圆O的切线，线点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC=2，∠PAB=120°，则圆O的面积为            . 参考答案： 17. 已知椭圆与直线，，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点，若为定值，则          ． 参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （1）设，若函数在处的切线过点，求的值； （2）设函数，且，当时，比较与1的大小关系。 参考答案： 19. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； (2)求证：无论点E在BC边的何处，都有； (3)当为何值时,与平面所成角的大小为45°. 参考答案： 解：⑴当E是BC中点时，因F是PB的中点，所以EF为的中位线，         故EF//PC，又因面PAC，面PAC，所以EF//面PAC……4分 ⑵证明：因PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB，   又DA//CB，所以CB⊥面PAB，而面PAB，所以， 又在等腰三角形PAB中，中线AF⊥PB，PBCB=B，所以AF⊥面PBC. 而PE面PBC，所以无论点E在BC上何处，都有………8分 ⑶以A为原点，分别以AD、AB、AP为x￥y￥z轴建立坐标系，设，   则，，，设面PDE的法向量为，   由，得，取，又，   则由，得，解得.   故当时，PA与面PDE成角……………12分   略 20. 已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，以极点为在平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xoy，直线的参数方程为（t为参数）． （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程； （2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，与y轴交于点M，求（|MA|+|MB|）2的值． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）按要求将极坐标方程即参数方程化为普通方程； （2）利用直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用韦达定理求线段的长度． 【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，化为直角坐标方程为 x2+y2﹣2x﹣4y=0，直线l的普通方程为x﹣y+=0．                         … （2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣（+1）t﹣3=0， 点M对应的参数t=0，设点A、B对应的参数分别为t1，t2， 则，t1?t2=﹣3， 所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|== 所以（|MA|+|MB|）2=16+2．                                                    … 21. （本小题满分13分） 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证： （Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC1B1； （Ⅱ）直线A1F∥平面ADE． 参考答案： 【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．G4 G5 【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 解析：（Ⅰ）∵ABC-A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC，             ………………2分 ∵AD?平面ABC，∴CC1⊥AD．                     ………………3分 ∵AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， ∴AD⊥平面BCC1B1．              ………………4分 ∵AD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC1B1．……………………………………6分 （Ⅱ）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1．     …………7分 ∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F ?平面A1B1C1，∴CC1⊥A1F．  ………………9分 ∵CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，∴A1F⊥平面BCC1B1……………10分 由（Ⅰ）知，AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD．      ………………11分 ∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE，∴A1F∥平面ADE．………13分 【思路点拨】（Ⅰ）根据三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE． 22. （本小题满分12分）          已知函数，且.          ⑴ 若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；          ⑵ 当时，求函数的最小值. 参考答案： 解：由题意得： ；        (3分) (1)由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即，解得；