2022-2023学年江苏省连云港市海头高一年级上册学期1月学情检测数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港市海头高一上学期1月学情检测数学试题 一、单选题 1．已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集定义即可求解. 【详解】由题知， ， ， 故选：C. 2．命题“”的否定是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论. 【详解】因为的否定为， 所以选A. 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论. 3．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，然后再根据零点存在性定理，通过赋值，即可找到零点所在的区间，从而完成求解. 【详解】函数可看成两个函数和组成， 两函数在上，都是增函数， 故函数在上也是单调递增的， 所以， 而， 由零点存在性定理可得，函数零点所在区间为. 故选：D. 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合对数函数与指数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，则，即，所以；因为函数在单调递增，则，所以；因为函数在上单调递减，则，所以，综上，. 故选：A. 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用两角和的余弦公式即可得解. 【详解】解：. 故选：A. 6．已知，且关于的不等式的解集为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知、均为正数，利用韦达定理得出，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由已知，、是方程的两根，所以，， 所以，， 且， 当且仅当时，取等号，因此，的最小值为. 故选：A． 7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（    ） A．10% B．20% C．30% D．50% 【答案】C 【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为8000比信噪比为1000时提升了多少即可． 【详解】由题意可知，， ， 故提升了， 故选：C． 8．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得，换元转化为在上恰有5个不相等的实根，结合的性质列出不等式求解. 【详解】，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得． 故选：D． 二、多选题 9．小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【答案】BC 【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案. 【详解】，所以A错； 弧长，所以B对； 扇形的周长为，所以C对； 面积为，所以D错； 故选：BC 10．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合诱导公式及正余弦的和差角公式分别进行化简，即可求解； 【详解】解：对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：ACD 11．对于函数（其中），下列结论正确的是（    ） A．若，，则的最小值为； B．若，则函数的图象向右平移个单位可以得到函数的图象； C．若，则函数在区间上单调递增； D．若函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则. 【答案】AD 【解析】根据三角函数的单调性，周期，最值，平移依次判断每个选项判断得到答案. 【详解】，则，当时，. 故，正确； 的图象向右平移个单位可以得到函数，故错误； ，则，函数先增后减，故错误； 函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则， 故，，正确； 故选：. 【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，单调性，周期，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用. 12．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数是以2为周期的周期函数 C．函数的图像关于直线对称 D．函数为奇函数 【答案】ACD 【分析】根据周期性与奇偶性定义即可做出判断. 【详解】因为是奇函数，所以，则 所以关于点对称，，故A正确；且 是偶函数，所以 故，所以函数是以4为周期的周期函数．故B错误； 函数的图像关于直线对称，C正确； 令，则，由于 故，即 所以，即函数为奇函数，D正确． 故选：ACD 三、填空题 13．__________. 【答案】 【分析】将变形为，去括号后提公因式，然后利用对数的运算性质即可计算出所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 【点睛】本题考查对数的计算，在计算时注意对数运算性质以及化简技巧的应用，考查计算能力，属于基础题. 14． ． 【答案】 【分析】根据两角差的正切公式，可直接求出结果. 【详解】. 故答案为 【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，熟记公式即可，属于常考题型. 15．某一天时的温度变化曲线近似地满足，其中表示时间，表示温度，则这一天中时的最大温差为_______度. 【答案】20 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大、最小值作答. 【详解】当时，，则当时，，当时，， 所以这一天中时的最大温差为度. 故答案为：20 16．已知函数，其中，且，若函数的图象与直线有个不同的交点，其横坐标分别为，且，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据正弦函数的值可求得，确定在时，与有且仅有一个交点，并确定交点横坐标的范围；当时，结合指数函数值域可知不合题意；当时，令可求得，解对数不等式即可求得结果. 【详解】设， 当时，， 当或，即或时，，则，； ； 当时，在上恒成立，则与无交点； 当时，， 令，解得：，即； ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 17．已知集合，． (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，再利用并集的运算求解； （2）根据 “”是“”的充分不必要条件，得到，然后分，讨论求解. 【详解】（1）解：当时，． 因为， 所以． （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以． 当时，符合题意，此时有，解得：． 当时，要使，只需解得：， 综上：． 所以实数的取值范围． 18．（1）已知角终边所在直线经过点，求的值； （2）已知求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式化简即可求解； （2）利用同角三角关系与和差公式即可求解. 【详解】（1）角终边所在直线经过点， ，，. . （2） ，， . 19．设，为实数，已知定义在上的函数为奇函数，且其图象经过点． (1)求的解析式； (2)用定义证明为上的增函数，并求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据为奇函数，可得，可得，又过点，代入，可求得a，b的值，经检验符合题意，即可得答案. （2）利用定义法取值、作差、变形、定号，得结论，即可证明的单调性，根据单调性，代入数据，即可得值域. 【详解】（1）因为为上的奇函数，所以，即． 又因为函数的图象经过点，所以，即． 解得，故， 当时，， 即为奇函数，故符合条件． （2）任取，且， 则． 因为，所以，又因为，所以． 即，故为上的增函数．   因为在上也递增， 所以当时，，即， 所以在上的值域为 20．已知函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】试题分析： （1）结合函数图象和三角函数的性质可得，， 则函数的解析式为. （2）结合(1)中求得的函数解析式可得函数的单调递增区间为； （3）由函数的定义域可得 ，则函数的取值范围为. 试题解析： （1）由图像知， ， ， 由图像过点得，观察图像取，得 . （2）结合(1)中求得的函数解析式： 由， 解得， 故函数的单调递增区间为； （3） ， ， 则 的取值范围为. 21．设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R. (1)讨论f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的最小值． 【答案】（1）当时，偶函数，当时，为非奇非偶函数；（2）. 【详解】试题分析：（1）对于函数 f（x）=x2+|x﹣a|+1，分当a=0时、和当a≠0时两种情况，分别讨论f（x）的奇偶性； （2）当x≤a时，f（x）=x2﹣x+a+1=（x﹣）2+a+，分a＞时和a≤时两种情况，分别求得函数f（x）的最小值．②当x＞a 时，f（x）=x2+x﹣a+1=（x+）2﹣a+，分a＞﹣时和当a≤﹣时两种情况，分别求得函数f（x）的最小值． 解：（1）对于函数 f（x）=x2+|x﹣a|+1， 当a=0时，f（x）=x2+|x|+1为偶函数， 当a≠0时，f（x）=x2+|x|+1为非奇非偶函数． （2）①当x≤a时，f（x）=x2﹣x+a+1=（x﹣）2+a+， 若a＞时，函数f（x）的最小值为f（）=a+； 若a≤时，函数f（x）的最小值为f（a）=a2+1． ②当x＞a 时，f（x）=x2+x﹣a+1=（x+）2﹣a+， 若a＞﹣时，函数f（x）的最小值为f（a）=a2+1； 若a≤﹣时，函数f（x）的最小值为f（﹣）=﹣a+． 【解析】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质． 22．若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”． （1）若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围； （3）对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值集合． 【答案】（1）是上的“二阶局部奇函数”，理由见解析；（2）；（3）． 【解析】（1）当时，解方程，即可得出结论； （2）由可得出在上有解，再结合对数的真数恒为正数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由可得出在上有解，然后分和两种情况讨论，在时验证即可，在时可得出，综合可解得实数的取值范围，再由可得出结果. 【详解】（1）由题意得，，即， 由，可得且，得， ，． 所以，是上的“二阶局部奇函数”； （2）由题意得，， 所以，，可得在时有解， 当时，，即； ，，可得； ，，可得. 所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围是； （3）由题意得，在上有解， 可知有解，即有解， 当时，，满足题意； 当时，对于任意的实数，， ， 由，故． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“阶局部奇函数”，解本题的关键就是利用新定义将问题转化为方程在对应区间上有解的问题来处理，解决本题的第（2）问时要注意对数的真数在所给区间上恒成立，第（3）问在求解时要