2022-2023学年重庆綦江县东溪中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年重庆綦江县东溪中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的(       ) A．充分不必要条件                    B．必要不充分条件     C．充要条件                              D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 2. “”是“”的 （   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 3. 若椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离为（　　） A．7 B．5 C．3 D．2 参考答案： A 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a的值，即可得2a=10，由椭圆的定义分析可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为： +=1， 则有a==5，即2a=10， 椭圆上任一点到两个焦点距离之和为10， 若P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离为10﹣3=7； 故选：A． 4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（   ） A. 6里 B. 12里 C. 24里 D. 96里 参考答案： A 【分析】 由题意可知该问题为等比数列的问题，设出等比数列的公比和首项， 依题意可求出首项和公比，进而可求出结果. 【详解】由题意可得，每天行走的路程构造等比数列，记作数列， 设等比数列的首项为，公比为，依题意有，解得，则，最后一天走了6里，故选A. 【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的概念以及通项公式和前n项和公式即可，属于基础题型. 5. 已知在处取最大值，以下各式正确的序号为（    ） ①  ②  ③  ④  ⑤ A．①④      B．②⑤     C．②④        D．③⑤ 参考答案： B 略 6. 某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为（　　） A． B． C．5 D． 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为2、3和，即可得出． 【解答】解：由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为2、3和， 其面积为． 故选：B． 【点评】本题考查了三视图的应用及其性质、梯形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7. 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（     ） A．    B．     C．      D． 参考答案： A 略 8. 设a，b，c均为正实数，则三个数，，( ) A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至少有一个不大于2 D. 至少有一个不小于2 参考答案： D 由题意得， 当且仅当时，等号成立， 所以至少有一个不小于2，故选D. 9. （5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（　　） 　 A． 2 B． 2 C． 2 D． 4 参考答案： C 【考点】： 抛物线的简单性质． 【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： 根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积． 解：∵抛物线C的方程为y2=4x ∴2p=4，可得=，得焦点F（） 设P（m，n） 根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4， 即m+=4，解得m=3 ∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24 ∴n== ∵|OF|= ∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2 故选：C 【点评】： 本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 10. 等比数列{an}中，，则与的等比中项是（   ） A. ±4 B. 4 C. D. 参考答案： A 分析】 利用等比数列{an}的性质可得 ，即可得出． 【详解】设与的等比中项是x． 由等比数列的性质可得， ． ∴a4与a8的等比中项 故选：A． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 参考答案： 略 12. 若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为________．    参考答案： （﹣5，﹣2） 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解：f′（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5，  若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调， 则4（k﹣1）2﹣12（k+5）≤0 ① 或 ② 或 ③ 或 ④． 解①得﹣2≤k≤7；解②得k≥1；解③得k∈?；解④得k≤﹣5． 综上，满足函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调的k的范围为k≤﹣5或k≥﹣2． 于是满足条件的实数k的范围为（﹣5，﹣2）． 故答案为：（﹣5，﹣2）． 【分析】求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，2）上恒大于等于0或恒小于等于0求出k的取值范围，再取补集得答案．      13. 已知P是椭圆 和双曲线 的一个共公点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最大值是_________. 参考答案： 【分析】 设，利用椭圆和双曲线的定义，求出的值，利用余弦定理得出等式，利用三角代换求出的最大值。 【详解】设，由椭圆的定义可知：（1）， 由双曲线的定义可知：（2）， 得：， 得：， 由余弦定理可知：， 设 所以， 当 时，的最大值是。 【点睛】本题考查了椭圆、双曲线的定义。重点考查了三角代换、余弦定理、辅助角公式。 14. 已知集合，则_________。 参考答案： 15. 若椭圆的左焦点在抛物线的准线上，则p的值为_______； 参考答案： 2 16. 已知双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率e=  ▲  ；若双曲线C过点(2，l)，则双曲线c的标准方程是  ▲  ． 参考答案： 略 17. 已知为定义在(0，+∞)上的可导函数，且，则不等式的解集为___________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等式， 其中ai（i=0，1，2，…，10）为实常数． 求：（1）的值； （2）的值．（注） 参考答案： 解：（1）在中，令，得．……………………………2分 令，得． …………………4分 所以． ……………………5分 （2）等式 两边对x求导，得 ．………7分 在中， 令x=0，整理，得．…………10分 19. 设一直线l经过点（﹣1，1），此直线被两平行直线l1：x+2y﹣1=0和l2：x+2y﹣3=0所截得线段的中点在直线x﹣y﹣1=0上，求直线 l的方程． 参考答案： 【考点】待定系数法求直线方程． 【分析】记直线l与两平行线的交点为C、D，CD的中点为M，由两直线交点坐标、中点坐标的求法得到点M的坐标，然后利用待定系数法求直线 l的方程． 【解答】解：设直线 x﹣y﹣1=0与l1，l2的交点为 C（xC，yC），D（xD，yD）， 则， ∴， ∴． 则C，D的中点M为． 又l过点（﹣1，1）由两点式得l的方程为，即2x+7y﹣5=0为所求方程． 20. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，cosB=． (1)求b的值；(2)求sinC的值． 参考答案： （1） b=；（2） . 21. 过点P（1，4）作直线，直线与的正半轴分别交于A，B两点，O为原点， （Ⅰ）△ABO的面积为9，求直线的方程； （Ⅱ）若△ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线的方程. 参考答案： （1）设直线为：，即 则直线与的交点坐标分别为： 则：，所以 则直线为： （2）由（1）可知 略 22. 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与此椭圆分别交于点、，其中，， ⑴ 设动点满足，求点的轨迹方程； ⑵ 设，，求点的坐标； ⑶ 若点在点的轨迹上运动，问直线是否经过轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．       参考答案： 解：⑴　设，依题意知　代入化简得 故的轨迹方程为 ⑵　由及得，则点， 从而直线的方程为； 同理可以求得直线的方程为 联立两方程可解得 所以点的坐标为 ⑶　假设直线过定点，由在点的轨迹上， 直线的方程为，直线的方程为 点满足得 又，解得，从而得 点满足，解得 若，则由及解得， 此时直线的方程为，过点 若，则， 直线的斜率，直线的斜率， 得，所以直线过点， 因此，直线必过轴上的点   略