2022-2023学年山东省青岛市胶州第三中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年山东省青岛市胶州第三中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的全面积是（） A          B        C         D  都不对 参考答案： A 2. 若平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A．           B．          C．          D． 参考答案： A 3. 已知球的半径为1，三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心到平面的距离为 A．                 B．                 C．                  D． 参考答案： A 4. 抛物线的准线方程是（    ）   A．      B．      C．      D． 参考答案： B 5. 已知|x-a| B”是“sinA > sinB”成立的必要不充分条件.     有下列四个结论：①p真q假；②“p∧q”为真；③ “p∨q”为真；④p假q真     其中正确结论的序号是          .（请把正确结论填上）   参考答案： 略 15. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为圆；③设是△ABC的一内角，且,则表示焦点在x轴上的双曲线④已知两定点和一动点P，若，则点P的轨迹关于原点对称； 其中真命题的序号为               （写出所有真命题的序号） 参考答案： ② ④ 略 16. 下图l是某校参加2013年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位：)在内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180(含160，不含180)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是     _    参考答案： （或） 17. 若直线与曲线（）有两个不同的公共点，则实数 的取值范围为____________； 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，E是PA的中点． （Ⅰ）求证：PC∥平面BDE； （Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE． 参考答案： 【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE，则PC∥OE，由此能证明PC∥平面BDE． （Ⅱ）推导出PA⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面BDE． 【解答】证明：（Ⅰ）如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE… ∵O是AC的中点，E是PA的中点 ∴PC∥OE… ∵OE?平面BDE，PC?平面BDE ∴PC∥平面BDE… （Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD ∴PA⊥BD ∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC 又AC∩PA=A ∴BD⊥平面PAC… 又BD?平面BDE ∴平面PAC⊥平面BDE… 【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 19. （本小题满分12分） 如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C,测得，,且米。 （1）求； （2）求该河段的宽度。 参考答案： (本小题主要考查三角函数和差角公式，及解三角形的应用) 解：（1）                                   ……………4分 （2）∵， ∴, 由正弦定理得： ∴                                ………………7分 如图过点B作垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。 在中，∵,………9分 ∴＝        =（米）              ……12分 略 20. 已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由短轴长可得b值，由离心率为可得=，结合a2=b2+c2即可求得a值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线方程为：y=k（x+1），联立方程组消掉y得到x的二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理及弦长公式即可表示弦长|MN|，最后利用弦长建立等式，即可求出直线l的方程． 【解答】解：（1），椭圆的标准方程： （2）由题意知，直线l的斜率存在，所以设直线方程为：y=k（x+1）， ，联立得：（5k2+4）x2+10k2x+5k2﹣20=0， ∴， 则： ==， ∵， ∴ 即： 即：， 所以，k=±1，所以直线方程为：y=x+1或y=﹣x﹣1． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，弦长公式及韦达定理是解决该类题目的基础知识，要熟练掌握． 21. 已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F，F，左右顶点分别为A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4 （1）求椭圆的方程； （2）过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF2N的面积为，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程． 【分析】（1）由|F1F2|=4，|AB|=4，建立方程组，求出a=2，c=2，b=2，由此能求出椭圆的方程． （2）由F1（﹣2，0），设过F1的直线l的方程为：x+2=my，由，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0，利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式，能求出m=±1，由此能求出直线l的方程． 【解答】解：（1）∵椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上， 左右焦点分别为F，F，左右顶点分别为A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4， ∴，解得a=2，c=2，b=2， ∴椭圆的方程为． （2）由（1）知F1（﹣2，0），设过F1的直线l的方程为：x+2=my， 由，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则， ∵△MF2N的面积为， ∴==2=， 化简，得2m4﹣m2﹣1=0，解得m2=1或m2=﹣（舍）， 解得m=±1，此时直线l的方程为x﹣y+2=0，或x+y+2=0． 22. 已知抛物线的焦点为椭圆C：的右焦点F，点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且. （1）求椭圆C的方程； （2）过点F作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆C交于P，Q两点，直线与直线交于点T，求的取值范围. 参考答案： （1）由已知， 可得的焦点坐标为， 设， 则， 解得， 所以. 由点在椭圆上，得， 即. 又，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，与直线无交点， 故直线的斜率不为. 设直线的方程为， ，， 由，得， 则， ， ， 所以 . 当时，直线的方程为， 由， 得，， 即， 所以. 所以 . 设，则， 则， 由于在区间内为增函数， 所以， 则. 当时，，， 则，所以. 综上，得的取值范围是.