河北省张家口市新保安第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省张家口市新保安第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为                                    （    ）          A．1                                     B．                               C．                              D． 参考答案： A 2. 已知扇形的周长是3cm，面积是cm2，则扇形的中心角的弧度数是（    ） A. 1            B. 1或4       C. 4              D. 2或4 参考答案： B  3. 已知是非零向量，它们之间有如下一种运算：，其中表示的夹角．给出下列命题： ①；②；③； ④；⑤若，则，其中真命题的个数是（  ） A．2   B．3  C．4   D．5 参考答案： B 4. 已知函数是周期为4的函数， 其部分图象如右图，给出下列命题： ①是奇函数；                ②的值域是； ③关于的方程必有实根； ④关于的不等式的解集非空. 其中正确命题的个数为(       ) A．4        B．3        C．2        D．1                    参考答案： B 略 5. 设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N*时，f（n）∈N*，且f=2n+1，则f（1）+f（2）+…+f（7）=(     ) A．39 B．40 C．43 D．46 参考答案： C 【考点】抽象函数及其应用；函数的值． 【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；推理和证明． 【分析】利用函数单调递增及n∈N*时，f（n）∈N*，通过赋值法，和简单的逻辑推理，即可得到f（4）的值． 【解答】解：由f=2n+1，令n=1，2得：f=3，f=5． ∵当n∈N*时，f（n）∈N*，且f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数， ①若f（1）=1，则由f=3得：f（1）=3，与单调递增矛盾，故不成立； ②若f（1）=2，则f（2）=3，则f（3）=5，则f（5）=7， 则f（3）＜f（4）＜f（5）即5＜f（4）＜7， ∴f（4）=6． f（6）=f（f（4））=2×4+1=9， f（7）=f（f（5））2×5+1=11． ∴f（1）+f（2）+…+f（7）=2+3+5+6+7+9+11=43． 故选：C． 【点评】本题考查函数的单调性，抽象函数的应用，以及赋值法，考查推理能力，属于中档题． 6. 下列关于回归分析的说法中错误的是   A．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的 模型比较合适 B．残差点所在带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高    C．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好  D．甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 参考答案： D 略 7. 已知为第二象限角，且，则的值是（    ） A．        B．        C．        D． 参考答案： D 8. 参考答案： D 9. 已知抛物线C：，过其焦点F的直线与C交于A、B两点，O是坐标原点，记的面积为S，且满足，则p=（    ） A. B. 1 C. D. 2 参考答案： D 【分析】 结合抛物线的定义，计算出三角形的面积，由此列方程，解方程求得的值. 【详解】设， ，则，根据抛物线的定义可知.依题意， 则，∴， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查与抛物线有关的三角形面积的计算，考查方程的思想，属于基础题. 10. 已知两个实数，满足，命题;命题。则下面命题正确的是（  ）   A.真假       B.假真      C. 真真         D. 假假 参考答案： B 构造函数，求导画图分析得到必须均小于0而且一个比-1大一个比-1小，所以答案选B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列结论中正确命题的序号为         . （写出所有正确命题的序号） ①函数有三个零点； ②若，则与的夹角为钝角； ③若，则不等式成立的概率是； ④函数的最小值为2． 参考答案： ③ ①函数恒成立，所以函数最多有一个零点。 ②若，则与的夹角为钝角，错误，若，与的夹角也可能为1800； ③若，则不等式成立的概率是； 　④因为函数时没有最小值，所以函数没有最小值。因为正确的只有③。 12. 设且 则对任意，               . 参考答案： 解析： ，     所以， 13. 二项式的展开式中的系数为_____；系数最大的项为_____． 参考答案： ﹣160     【分析】 根据二项展开式的通项公式，求得展开式中x2的系数，再根据二项式系数的性质，求出系数最大的项． 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中的系数为． 第项的系数为，要使该项的系数最大，应为偶数， 经过检验，时，该项的系数最大，为240，故系数最大的项为， 故答案为：﹣160；． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 14. 宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数为          ． 参考答案：        15. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_______ 参考答案： 3 16. 椭圆x2＋4y2＝1的离心率为________． 参考答案： 略 17. 设为曲线上的点，若曲线在点处的切线不经过第四象限，则该切线的斜率的取值范围是                   ； 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图,在圆内接四边形中， （I）若，求角； （II）若，求四边形的面积. 参考答案： （I）在中，由余弦定理得，.又，.因为四边形ABCD是圆的内接四边形，.        ………6分 （II）因为，        且.  …9分 又，. .       ……12分 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，和都是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且，． （1）求证：CD⊥PA； （2）E，F分别是棱PA，AD上的点，当平面BEF//平面PCD时，求四棱锥的体积． 参考答案： （1）证明见解析（2） 【分析】 （1）由已知即可证得：，且，再利用是等边三角形即可证得：，再利用面面垂直的性质即可证得：平面，问题得证. （2）利用平面BEF//平面PCD可得：BF//CD，结合可得，即可求得：DF=，从而求得，利用（1）可得四棱锥的高，再利用锥体体积公式计算即可. 【详解】证明：（1）因为是等边三角形，所以 又，， 所以，所以，且． 又是等边三角形，所以， 所以． 又平面平面，平面平面，平面 所以平面． 所以CDPA． （2）因为平面BEF//平面PCD， 所以BF//CD，EF//PD，又 所以． 又直角三角形ABD中，DF=， 所以． 所以． 由（1）知平面，故四棱锥的体积． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线线垂直的判定、面面平行的性质及锥体体积计算公式，还考查了转化思想及空间思维能力，属于中档题.   20. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：               性别   是否需要志愿者   男   女 需要 40 30 不需要 160 270             （Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （Ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由. 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828     附：      参考答案： 解：（Ⅰ）调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因为该地区老人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为℅.………………………（4分） （Ⅱ）. 由于，所以有℅的把握认为该地的区老人是否需要帮助与性别有关. ……………（8分）   （Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，该地的区老人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据看出该地区男性老年人与女性老年人需要帮助的比例有明显的差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样的方法比采用简单随机抽样的方法更好. ……………………（12分） 略 21. （本小题满分13分）已知椭圆()的短轴长为2，离心率为．过点M（2,0）的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的取值范围； （Ⅲ）若点关于轴的对称点是，证明：直线恒过一定点. 参考答案： （Ⅰ）易知，得,故. 故方程为. （3分） （Ⅱ）证明：设：，与椭圆的方程联立,消去得 . 由△＞0得. 设,则. ∴ = ，∴， 故所求范围是. （8分） （Ⅲ）由对称性可知N，定点在轴上. 直线AN：，令得: , ∴直线过定点. （13分） 22. 已知为等比数列,其中a1=1,且a2,a3+a5,a4成等差数列． (1)求数列的通项公式： (2)设,求数列{}的前n项和Tn． 参考答案： (1) ；(Ⅱ) . 试题分析：(1)设在等比数列中，公比为, 根据因为成等差数列.建立的方程. (Ⅱ)由（I）可得.从其结构上不难看出，应用“错位相减法”求和. 此类问题的解答，要特别注意和式中的“项数”.