吉林省四平市双辽王奔镇王奔中学高二数学文联考试卷含解析

吉林省四平市双辽王奔镇王奔中学高二数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若，则角B等于（    ） A． B． C． D． 参考答案： B 由，依正弦定理，可得：． ∵，∴．∴．∵，∴．故选B． 2. 是 的（    ） A．充要条件     B．充分不必要条     C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 3. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（    ） A．                  B． C．                  D．   参考答案： C 略 4. 抛物线的焦点坐标为                                  （    ） A．        B．            C．          D． 参考答案： B 略 5. 已知i为虚数单位, 若复数i，i，则    A．i                B. i            C. i             D．i 参考答案： A 略 6. 已知点在抛物线上，那么点到点（2，－1）的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（    ） A.          B.           C.          D. 参考答案： A 略 7. 设函数f（x）=x2+3x﹣2，则=（　　） A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10 参考答案： C 【考点】61：变化的快慢与变化率． 【分析】根据导数的定义和导数的运算法则计算即可． 【解答】解：∵f（x）=x2+3x﹣2， ∴f′（x）=2x+3， ∴f′（1）=2+3=5， ∴=2=2f′（1）=10， 故选：C． 8. 双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是(     ) A．2 B． C．4 D． 参考答案： C 【考点】双曲线的标准方程． 【专题】计算题． 【分析】将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长． 【解答】解：2x2﹣y2=8即为 ∴a2=4 ∴a=2 故实轴长为4 故选C 【点评】本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值． 9. 在长方体中，下列关于的表达中错误的一个是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 参考答案： B 10. 若集合M={y|y=2x}, P={x|y=}, M∩P=（  ） A． B． C． D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=BC=2，球心到面ABC的距离为1，那么球的体积    ． 参考答案： 【考点】球的体积和表面积． 【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】由题意可知三角形ACB是等边三角形，球心到平面ABC的距离为1，可求出球的半径，然后求球的体积． 【解答】解：由题意，AB=AC=BC=2，所以△ABC的外接圆的半径为2， 因为球心到平面ABC的距离为1， 所以球的半径是：R=， 球的体积是：πR3=． 故答案为：． 【点评】本题考查球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是中档题．利用球半径与球心O到平面ABC的距离的关系，是解好本题的前提． 12. 圆x2+y2=m与圆x2+y2﹣6x+8y﹣24=0若相交，则实数m的取值范围为　　　　　　． 参考答案： （4，144） 考点： 圆与圆的位置关系及其判定． 专题： 直线与圆． 分析： 利用圆心距与半径和与差的关系，求出m的范围即可． 解答： 解：圆x2+y2=m的圆心（0，0），半径为：， 圆x2+y2﹣6x+8y﹣24=0的圆心（3，﹣4），半径为7， 两个圆相交，则：＜＜7+， 可得， 解得m∈（4，144）． 故答案为：（4，144）． 点评： 本题考查两个圆的位置关系的应用，求出圆的圆心与半径，圆心距是解题的关键，注意半径差的表示． 13. 已知定义在[-2,2]上的函数f(x)满足f(x)+f(﹣x)=0，且，若f(1﹣t)+f(1﹣t2)＜0，则实数t的取值范围为      . 参考答案： [-1,1) 由题意可得，函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的减函数， 不等式即：f(1﹣t2)＜f(t﹣1)，据此有： ，求解关于实数t的不等式可得实数的取值范围为[-1,1). 点睛：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．   14. 函数f（x）=在点P（0，1）处的切线方程为　    　． 参考答案： x﹣y+1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求得函数的导数，求出切线的斜率k，利用斜截式方程即可得到切线方程． 【解答】解：f（x）=的导函数为f′（x）=， 可知函数f（x）在x=0处的切线斜率为k=1， 即有函数f（x）=在点P（0，1）处的切线方程为y=x+1， 即x﹣y+1=0． 故答案为：x﹣y+1=0． 15. ．函数的单调递增区间是_____________ 参考答案： 16. 若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________． 参考答案： 17. 过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|=　   　． 参考答案： 8 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+，求得答案． 【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1， 则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得 x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2） ∴x1+x2=6 根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+ =x1+x2+p=6+2=8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）设集合A中不含有元素，且满足条件：若，则有， 请考虑以下问题： （1）已知，求出A中其它所有元素； （2）自己设计一个实数属于A，再求出A中其它所有元素； （3）根据已知条件和前面（1）（2）你能悟出什么道理来，并证明你的猜想． 参考答案： 解：（1）由，则，所以集合；（2）任取一常数，如3，则同理（Ⅰ）可得：； （3）猜想任意的，则集合． 下面作简要证明：，则．这四个元素互不相等，否则． 19. 在经济学中，函数的边际函数M定义为M=，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差。    （1）求利润函数及边际利润函数M；    （2）利润函数与边际利润函数M是否具有相同的最大值？ 参考答案： 20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q为AD中点． （1）求证：AD⊥PB； （2）若平面PAD⊥平面ABCD，且M为PC的中点，求四棱锥M﹣ABCD的体积． （3）在（2）的条件下，求二面角P﹣AB﹣D的正切值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理先证明AD⊥平面PQB即可． （2）连接QC，作MH⊥QC与H，根据棱锥的体积公式进行求解即可． （3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，得到∠POQ即为二面角P﹣AB﹣D的平面角，利用三角形的边角关系进行求解． 【解答】证明：（1）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD， 又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD， 又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB， 又∵PB?平面PQB，∴AD⊥PB； （2）连接QC，作MH⊥QC与H ∵PQ⊥AD，PQ?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴平面PAD⊥平面ABCD ∴PQ⊥平面ABCD，又QC?平面ABCD，PQ⊥QC， ∴PQ∥MH∴MH⊥平面ABCD， 又PM=PC，∴MH=PQ==， 在菱形ABCD中，BD=2， S△ABD==， ∴SABCD=2S△ABD=2，   VM﹣ABCD=SABCD?MH==1， （3）解：过Q作QO⊥AB于O，连接OP 由（2）知PQ⊥平面ABCD，∴则OQ为斜线OP的射影 由射影定理知AB⊥OP， ∴∠POQ即为二面角P﹣AB﹣D的平面角， 在Rr△PQB中，PQ=，OQ=， ∴tan∴∠POQ=2 故二面角P﹣AB﹣D的正切值为2． 21. 已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0． （1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程； （2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标． 参考答案： 【考点】直线与圆相交的性质． 【专题】综合题；直线与圆． 【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可； （2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值． 【解答】解：（ 1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2． ①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±， 从而切线方程为y=（2±）x．… ②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0， 由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）x x+y+1=0或x+y﹣3=0．… （2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2?2x1﹣4y1+3=0..… 即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即 |OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．… 解方程组得P点坐标为（﹣，）．… 【点评】本题重点考查了直线与圆的位置关系，切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线长、半径满足勾股定理列方程；弦长问题一般会利用垂径定理求解． 22. 设命题p：方程表示双曲线；命题q：?x0∈R，使 （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围； （3）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】（1）当命题p为真命题时，（1﹣2m）（m+3）＜0，解得m （2）当命题q为真命题时，△=4m2﹣4（3﹣2m）≥0，解得m （3）当“p∨q”为假命题时，p，q都是假命题，∴，解得m 【解答】解：（1）当命题p为真命题时，方程表示双曲线， ∴（1﹣2m）（m+