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北京电影学院高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若在[ ]上为减函数,则的取值范围是( )
A. ( k∈Z ) B. ( k∈Z )
C. ( k∈Z ) D. ( k∈Z )
参考答案:
A
略
2. 在中,为的中点,且,则的值为
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
3. 在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面平行
B.过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
参考答案:
A
4. 已知数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
将已知条件化成等比数列基本量的形式,构成和的方程,解方程求得基本量;再利用等比数列求和公式求得结果.
【详解】由等比数列性质可得:
又是由正数组成的等比数列 且
,
本题正确选项:
【点睛】本题考查等比数列求和问题,关键是能够通过已知条件构成关于等比数列基本量的方程,求解得到首项和公比.
5. 已知正实数a,b,c,d满足,则下列不等式不正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 下列四组函数中,表示同一函数的是( )
A. 与
B.与
C.与
D.与
参考答案:
D
在选项中,前者的属于非负数,后者的 ,两个函数的值域不同;在选项中,前者的定义域为,后者为或 ,定义域不同;在选项中,两函数定义域不相同;在选项中, 定义域是 的定义域为,定义域不相同,值域、对应法则都相同,所以是同一函数,故选D.
7. 在中,已知,则的形状一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
A
8. 数列的通项公式,则该数列的前( )项之和等于。
A. B. C. D.
参考答案:
B 解析:
9. 点M(4,m)关于点N(n, - 3)的对称点为P(6,-9)则( )
A. m=-3,n=10 B.m=3,n=10
C. m=-3, n=5 D.m =3, n = 5
参考答案:
D
10. 用样本估计总体,下列说法正确的是( )
A.样本的结果就是总体的结果
B.样本容量越大,估计就越精确
C. 样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态
D.数据的方差越大,说明数据越稳定
参考答案:
B
因为用样本估计总体时,样本容量越大,估计就越精确,成立
选项A显然不成立,选项C中,样本的标准差可以近似地反映总体的稳定状态,数据的方差越大,说明数据越不稳定,故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 求值:sin960°=__________
参考答案:
12. 已知向量,满足(+2)?(﹣)=﹣6,且||=1,||=2,则与的夹角为 _________ .
参考答案:
13. 如图,在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是AB、DD1的中点,点P是DD1上一点,且PB∥平面CEF,则四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为 .
参考答案:
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】连结BD交CE于O,连结OF,则当BP∥OF时,PB∥平面CEF,推导出DP=3,四棱锥P﹣ABCD外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球,从而求出四棱锥P﹣ABCD外接球的半径,由此能求出四棱锥P﹣ABCD外接球的体积.
【解答】解:连结BD交CE于O,则,
连结OF,则当BP∥OF时,PB∥平面CEF,则,
∵F是DD1的中点,DD1=4,∴DP=3,
又四棱锥P﹣ABCD外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球,
∴四棱锥P﹣ABCD外接球的半径为:R==,
∴四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为:
V==.
故答案为:.
14. 科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设I为地震时的相对能量程度,则里氏震级量度(r)可定义为r=lgI。2008年四川省汶川地区发生里氏8.0级地震,同1976年的唐山大地震(里氏7.8级)比较,汶川地震的相对能量程度是唐山大地震的 倍。
参考答案:
15. 已知集合A={﹣1}且A∪B={﹣1,3},请写出所有满足条件B的集合 .
参考答案:
{3}或{﹣1,3}
【考点】集合的含义.
【分析】由题意列举集合B的所有可能情况.
【解答】解:集合A={﹣1},A∪B={﹣1,3},
所以B至少含有元素3,
所以B的可能情况为:{3}或{﹣1,3}.
故答案是:{3}或{﹣1,3}.
16. (3分)函数f(x)=的定义域为 .
参考答案:
(0,2)∪(2,3]
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 直接利用分母不为0,偶次方非负,对数的真数为正数,得到不等式组,求解即可.
解答: 要使函数有意义,必须:,解得x∈(0,2)∪(2,3].
所以函数的定义域是:(0,2)∪(2,3].
故答案为:(0,2)∪(2,3].
点评: 本题考查函数的定义域的求法,基本知识的考查.
17. 若圆锥的侧面积为,底面积为,则该圆锥的体积为 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),f(﹣2)=f(0)=0,f(x)的最小值为﹣1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(﹣x)﹣λf(x)+1,若g(x)在[﹣1,1]上是减函数,求实数λ的取值范围;
(3)设函数h(x)=log2[p﹣f(x)],若此函数在定义域范围内不存在零点,求实数p的取值范围.
参考答案:
【考点】二次函数的性质;对数函数的单调性与特殊点.
【分析】(1)由已知中二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),f(﹣2)=f(0)=0,f(x)的最小值为﹣1.我们易根据出关于系数a,b,c的方程组,解方程组求出a,b,c值后,即可得到函数f(x)的解析式;
(2)由(1)的结论及g(x)=f(﹣x)﹣λf(x)+1,我们可以得到g(x)的表达式,由于其解析式为类二次函数的形式,故要对二次项系数进行分类讨论,最后综合讨论结果即可得到实数λ的取值范围;
(3)由函数h(x)=log2[p﹣f(x)]在定义域内不存在零点,则根据真数必须大于0,1的对数等于0的法则,我们可以构造出一个关于p的不等式组,解不等式组,即可得到答案.
【解答】解:(1)设f(x)=ax(x+2),又a>0,f(﹣1)=﹣1,
∴a=1,
∴f(x)=x2+2x.
(2)∵g(x)=f(﹣x)﹣λf(x)+1,
∴g(x)=(1﹣λ)x2﹣2(1+λ)x+1,
①当λ=1时,g(x)=﹣4x=1在[﹣1,1]上是减函数,满足要求;
②当λ≠1时,对称轴方程为:x=.
ⅰ)当λ<1时,1﹣λ>0,所以≥1,解得0≤λ<1;
ⅱ)当λ>1时,1﹣λ<0,所以≤﹣1,解得λ>1.
综上,λ≥0.(7分)
(3)函数h(x)=log2[p﹣f(x)]在定义域内不存在零点,必须且只须有
p﹣f(x)>0有解,且p﹣f(x)=1无解.
即[p﹣f(x)]max>0,且1不在[p﹣f(x)]的值域内.
f(x)的最小值为﹣1,
∴函数y=p﹣f(x)的值域为(﹣∞,p+1].
∴,解得﹣1<p<0.
∴p的取值范围为(﹣1,0).(10分)
【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质,对数函数的单调性与特殊点,其中根据已知条件确定出函数f(x)的解析式是解答本题的切入点和关键.
19. 已知函数的定义域为M.
(1)求M;
(2)当x∈M时,求的值域.
参考答案:
(1)由题意,……………………………………2分
………………………………………………………………5分
(2)令,因为,所以……………………………………7分
的值域可以求变为的值域
易知,……………………………………………………………………10分
故g(x)的值域为[0,9].………………………………………………………………12分
20. 已知圆C:x2+(y﹣4)2=1,直线l:2x﹣y=0,点P在直线l上,过点P作圆C的切线PA,PB,切点分别为A,B.
(1)若∠APB=60°,求点P的坐标;
(2)求证:经过点A,P,C三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)由已知求得P到圆心C的距离为2,设出P的坐标,由两点间的距离公式列式求得P的坐标;
(2)设出P的坐标,得到以PC为直径的圆的方程为:x(x﹣a)+(y﹣4)(y﹣2a)=0,整理后由圆系方程求得经过点A,P,C三点的圆必经过定点(0,4)和.
【解答】(1)解:如图,
由条件可得PC=2,设P(a,2a),则,
解得a=2或,
∴点P(2,4)或;
(2)证明:设P(a,2a),过点A,P,C的圆即是以PC为直径的圆,
其方程为:x(x﹣a)+(y﹣4)(y﹣2a)=0,
整理得x2+y2﹣ax﹣4y﹣2ay+8a=0,
即(x2+y2﹣4y)﹣a(x+2y﹣8)=0.
由,得或,
∴该圆必经过定点(0,4)和.
21. (15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2﹣n.
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)设数列{bn}满足bn+1=2bn﹣an且b1=4,
(i)证明:数列{bn﹣2n}是等比数列,并求{bn}的通项;
(ii)当n≥2时,比较bn﹣1?bn+1与bn2的大小.
参考答案:
22. 如图,在中,,斜边. 可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角是直二面角.动点的斜边上.
(I)求证:平面平面;
(II)求与平面所成角的正弦的最大值.
参考答案:
(I)证明:由题意,,,
是二面角的平面角,又二面角是直二面角,
,又,平面,
又平面.平面平面.
(II)解:由(I)知,平面,
是与平面所成的角,且.当最小时,最大,这时,,垂足为,, ,
与平面所成角的正弦值的最大值为.
略
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