北京电影学院高一数学理模拟试题含解析

北京电影学院高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若在[ ]上为减函数，则的取值范围是（   ）     A． ( k∈Z )        B. ( k∈Z ) C． ( k∈Z )         D. ( k∈Z ) 参考答案： A 略 2. 在中，为的中点，且，则的值为 A、　　　        B、　        　C、　　         D、 参考答案： C 3. 在下列命题中，不是公理的是（　　） A．平行于同一个平面的两个平面平行 B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 参考答案： A 4. 已知数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知，则 (     ) A. B. C.  D. 参考答案： C 【分析】 将已知条件化成等比数列基本量的形式，构成和的方程，解方程求得基本量；再利用等比数列求和公式求得结果. 【详解】由等比数列性质可得： 又是由正数组成的等比数列    且 ，    本题正确选项： 【点睛】本题考查等比数列求和问题，关键是能够通过已知条件构成关于等比数列基本量的方程，求解得到首项和公比. 5. 已知正实数a，b，c，d满足，则下列不等式不正确的是（    ） A．         B．         C.          D． 参考答案： D 6. 下列四组函数中，表示同一函数的是（     ） A． 与 B．与 C．与 D．与 参考答案： D 在选项中，前者的属于非负数，后者的 ，两个函数的值域不同；在选项中，前者的定义域为，后者为或 ，定义域不同；在选项中，两函数定义域不相同；在选项中， 定义域是 的定义域为，定义域不相同，值域、对应法则都相同，所以是同一函数，故选D.   7. 在中，已知，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形         B．直角三角形       C．等边三角形       D．等腰直角三角形 参考答案： A 8. 数列的通项公式，则该数列的前（   ）项之和等于。 A．     B．     C．     D． 参考答案： B  解析： 9. 点M(4，m）关于点N（n, － 3）的对称点为P（6，-9）则（   ） A. m＝－3,n＝10　　　　    B.m＝3,n＝10 C. m＝－3, n＝5　　　　　　 D.m =3, n = 5 参考答案： D 10. 用样本估计总体，下列说法正确的是（  ） A．样本的结果就是总体的结果 B．样本容量越大，估计就越精确 C. 样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态    D．数据的方差越大，说明数据越稳定 参考答案： B 因为用样本估计总体时，样本容量越大，估计就越精确，成立 选项A显然不成立，选项C中，样本的标准差可以近似地反映总体的稳定状态，数据的方差越大，说明数据越不稳定，故选B.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 求值：sin960°=__________ 参考答案： 12. 已知向量，满足（+2）?（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为　_________　． 参考答案： 13. 如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、DD1的中点，点P是DD1上一点，且PB∥平面CEF，则四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为　　． 参考答案： 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】连结BD交CE于O，连结OF，则当BP∥OF时，PB∥平面CEF，推导出DP=3，四棱锥P﹣ABCD外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，从而求出四棱锥P﹣ABCD外接球的半径，由此能求出四棱锥P﹣ABCD外接球的体积． 【解答】解：连结BD交CE于O，则， 连结OF，则当BP∥OF时，PB∥平面CEF，则， ∵F是DD1的中点，DD1=4，∴DP=3， 又四棱锥P﹣ABCD外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球， ∴四棱锥P﹣ABCD外接球的半径为：R==， ∴四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为： V==． 故答案为：． 14. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时的相对能量程度，则里氏震级量度（r）可定义为r＝lgI。2008年四川省汶川地区发生里氏8.0级地震，同1976年的唐山大地震（里氏7.8级）比较，汶川地震的相对能量程度是唐山大地震的       倍。 参考答案： 15. 已知集合A={﹣1}且A∪B={﹣1，3}，请写出所有满足条件B的集合　　． 参考答案： {3}或{﹣1，3} 【考点】集合的含义． 【分析】由题意列举集合B的所有可能情况． 【解答】解：集合A={﹣1}，A∪B={﹣1，3}， 所以B至少含有元素3， 所以B的可能情况为：{3}或{﹣1，3}． 故答案是：{3}或{﹣1，3}． 16. （3分）函数f（x）=的定义域为          ． 参考答案： （0，2）∪（2，3] 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 直接利用分母不为0，偶次方非负，对数的真数为正数，得到不等式组，求解即可． 解答： 要使函数有意义，必须：，解得x∈（0，2）∪（2，3]． 所以函数的定义域是：（0，2）∪（2，3]． 故答案为：（0，2）∪（2，3]． 点评： 本题考查函数的定义域的求法，基本知识的考查． 17. 若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为              。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），f（﹣2）=f（0）=0，f（x）的最小值为﹣1． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设g（x）=f（﹣x）﹣λf（x）+1，若g（x）在[﹣1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围； （3）设函数h（x）=log2[p﹣f（x）]，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数p的取值范围． 参考答案： 【考点】二次函数的性质；对数函数的单调性与特殊点． 【分析】（1）由已知中二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），f（﹣2）=f（0）=0，f（x）的最小值为﹣1．我们易根据出关于系数a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c值后，即可得到函数f（x）的解析式； （2）由（1）的结论及g（x）=f（﹣x）﹣λf（x）+1，我们可以得到g（x）的表达式，由于其解析式为类二次函数的形式，故要对二次项系数进行分类讨论，最后综合讨论结果即可得到实数λ的取值范围； （3）由函数h（x）=log2[p﹣f（x）]在定义域内不存在零点，则根据真数必须大于0，1的对数等于0的法则，我们可以构造出一个关于p的不等式组，解不等式组，即可得到答案． 【解答】解：（1）设f（x）=ax（x+2），又a＞0，f（﹣1）=﹣1， ∴a=1， ∴f（x）=x2+2x． （2）∵g（x）=f（﹣x）﹣λf（x）+1， ∴g（x）=（1﹣λ）x2﹣2（1+λ）x+1， ①当λ=1时，g（x）=﹣4x=1在[﹣1，1]上是减函数，满足要求； ②当λ≠1时，对称轴方程为：x=． ⅰ）当λ＜1时，1﹣λ＞0，所以≥1，解得0≤λ＜1； ⅱ）当λ＞1时，1﹣λ＜0，所以≤﹣1，解得λ＞1． 综上，λ≥0．（7分） （3）函数h（x）=log2[p﹣f（x）]在定义域内不存在零点，必须且只须有 p﹣f（x）＞0有解，且p﹣f（x）=1无解． 即[p﹣f（x）]max＞0，且1不在[p﹣f（x）]的值域内． f（x）的最小值为﹣1， ∴函数y=p﹣f（x）的值域为（﹣∞，p+1]． ∴，解得﹣1＜p＜0． ∴p的取值范围为（﹣1，0）．（10分） 【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，对数函数的单调性与特殊点，其中根据已知条件确定出函数f（x）的解析式是解答本题的切入点和关键． 19. 已知函数的定义域为M. （1）求M； （2）当x∈M时，求的值域. 参考答案： （1）由题意，……………………………………2分 ………………………………………………………………5分 （2）令，因为，所以……………………………………7分 的值域可以求变为的值域 易知，……………………………………………………………………10分 故g(x)的值域为[0,9].………………………………………………………………12分 20. 已知圆C：x2+（y﹣4）2=1，直线l：2x﹣y=0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B． （1）若∠APB=60°，求点P的坐标； （2）求证：经过点A，P，C三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）由已知求得P到圆心C的距离为2，设出P的坐标，由两点间的距离公式列式求得P的坐标； （2）设出P的坐标，得到以PC为直径的圆的方程为：x（x﹣a）+（y﹣4）（y﹣2a）=0，整理后由圆系方程求得经过点A，P，C三点的圆必经过定点（0，4）和． 【解答】（1）解：如图， 由条件可得PC=2，设P（a，2a），则， 解得a=2或， ∴点P（2，4）或； （2）证明：设P（a，2a），过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆， 其方程为：x（x﹣a）+（y﹣4）（y﹣2a）=0， 整理得x2+y2﹣ax﹣4y﹣2ay+8a=0， 即（x2+y2﹣4y）﹣a（x+2y﹣8）=0． 由，得或， ∴该圆必经过定点（0，4）和． 21. （15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2﹣n． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）设数列{bn}满足bn+1=2bn﹣an且b1=4， （i）证明：数列{bn﹣2n}是等比数列，并求{bn}的通项； （ii）当n≥2时，比较bn﹣1?bn+1与bn2的大小． 参考答案： 22. 如图，在中，，斜边． 可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上． （I）求证：平面平面； （II）求与平面所成角的正弦的最大值． 参考答案： （I）证明：由题意，，， 是二面角的平面角，又二面角是直二面角， ，又，平面， 又平面．平面平面．    （II）解：由（I）知，平面， 是与平面所成的角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，  ， 与平面所成角的正弦值的最大值为． 略