2022年河南省开封市第二十六中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年河南省开封市第二十六中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的零点个数为（　　） A．0                  B．1              C．2              D．3   参考答案： B 2. 已知函数f（x）=x（a﹣e﹣x），曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣e2，+∞） B．（﹣e2，0） C．（﹣e﹣2，+∞） D．（﹣e﹣2，0） 参考答案： D 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】由曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，故f′（x）=a+（x﹣1）e﹣x=0有两个不同的解，即得a=（1﹣x）e﹣x有两个不同的解，即可解出a的取值范围． 【解答】解：∵曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直， ∴f′（x）=a+（x﹣1）e﹣x=0有两个不同的解，即得a=（1﹣x）e﹣x有两个不同的解， 设y=（1﹣x）e﹣x，则y′=（x﹣2）e﹣x，∴x＜2，y′＜0，x＞2，y′＞0 ∴x=2时，函数取得极小值﹣e﹣2， ∴0＞a＞﹣e﹣2． 故选D． 3. 角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，“角α的终边在射线x+3y=0（x≥0）上”是“sin2α=﹣”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据三角函数的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：∵角α的终边在射线x+3y=0（x≥0）上， ∴设点P（3，﹣1），则sinα=﹣，cosα=，则sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）（）=﹣，即充分性成立， 当M（﹣3，1），则sinα=，cosα=﹣，此时满足sin2α=﹣，但M（﹣3，1）不在射线x+3y=0（x≥0）上，即必要性不成立， 即“角α的终边在射线x+3y=0（x≥0）上”是“sin2α=﹣”的充分不必要条件， 故选：A． 4. 已知在复平面内对应的点为P，则P点不可能在（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： B 【分析】 分、、、和五种情况讨论，分析复数的实部和虚部的符号，可得出点可能所在的位置. 【详解】当时，则，，此时复数所对应的点在第三象限； 当时，则，则复数所对应的点在轴上； 当时，则，，此时复数所对应的点在第四象限； 当时，则，此时复数所对应的点在轴上； 当时，则，，此时复数所对应的点在第一象限. 因此，点不可能在第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数对应点所在的象限，解题时要从复数的实部和虚部的符号来进行分析，考查分类讨论思想的应用，属于基础题. 5. 若“”是“”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是(     ) A．[－1,0]   B．(－1,0)   C．(－∞,0]∪[1,+∞)    D．(－∞, －1)∪(0,+∞) 参考答案： A 6. 函数的部分图象大致为(    ) 参考答案： D 7. 命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： B ∵， ∴命题，是真命题． ∵， ∴命题，是假命题． 由复合命题真值表得：是假命题，故错误； 是真命题，故正确； 是假命题，故错误； 为假命题，故错误． 故选． 8. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（　　） A．2 B． C． D．3 参考答案： D 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可． 【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是： V==3?x=3． 故选D． 9. 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（　　） ．第一象限         ．第二象限         ．第三象限          ．第四象限 参考答案： D ，所以对应点位，在第四象限，选D. 10. 条件，条件；若p是q的充分而不必要条件，则的取值范围是 A．        B．         C．           D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数 ，函数的零点个数为           个． 参考答案： 2 12. 在△ABC中，若sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为________． 参考答案： 13. 设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是　   　． 参考答案： 2 【考点】等比数列的前n项和． 【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】由已知利用等比数列的通项公式可求q3，然后利用等比数列的求和公式化简==，代入即可求解． 【解答】解：∵a3+2a6=0， ∴=﹣，即q3=﹣， ∴====2． 故答案是：2． 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题． 14. 已知函数，则方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有　　   ． 参考答案： 7个 【考点】54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】求解方程f2（x）﹣f（x）=0，可得f（x）=0或f（x）=1．画出函数的图象，数形结合得答案． 【解答】解：由f2（x）﹣f（x）=0，得f（x）=0或f（x）=1． 画出函数的图象如图， 由图可知，f（x）=0可得x有3个不同实根； f（x）=1可得x有4个不同实根． ∴方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有7个． 故答案为：7个． 15. 方程的解为＿＿＿＿＿＿＿. 参考答案： 16. 已知圆C：，直线l：则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为             . 参考答案： 17. 已知的导函数为.若，且当时，，则不等式的解集是          . 参考答案： 令，则由，可得，故为偶函数，又当时，即，所以在上为增函数.不等式可化为，所以有，解得. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. .(10分)已知是公差不为零的等差数列,成等比数列. （Ⅰ）求数列的通项;        （Ⅱ）求数列的前n项和 参考答案： 解： 由题设知公差 由成等比数列得 解得(舍去) 故的通项 , 由等比数列前n项和公式得 略 19. (本小题满分13分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示． (Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =；      写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =； (Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天) 参考答案： 解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)=                                         ——2分 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=(t－150)2＋100，0≤t≤300．                                  ——4分 (Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得 h(t)=f(t)－g(t) 即h(t)=                           ——6分 当0≤t≤200时，配方整理得 h(t)=－(t－50)2＋100， 所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100； 当20087.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．                     ——13分 略 20. （本小题满分12分）已知函数，x∈R. （1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程； （2）在锐角中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，求的面积. 参考答案： 解(1) f(x)，  　            ………………3分 故其最小正周期,                           ………………4分 令，解得， 即函数图象的对称轴方程为，.     ………………6分 （2）由（1），知，因为，所以. 又，故得，解得.  ………………8分 由正弦定理及，得.             ………………10分 故.                                ………………12分 21. 已知向量． （Ⅰ）求点Q（x，y）的轨迹C的方程； （Ⅱ）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（I）由整理可求Q点的轨迹方程． （II）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，结合直线与椭圆有两个不同的交点，可得△＞0，从而可得m与k得关系，设弦MN的中点为P由|AM|=|AN|，可得AP⊥MN，从而有KAP?Kmn=﹣1，代入可求． 【解答】解：（I）由题意得：，∵．∴…（4分） （II）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①…（6分） （1）当k≠0时，设弦MN的中点为P（xp，yp），xM、xN分别为点M、N的横坐标，则…（8分） 又|AM|=|AN|，∴②，将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得，故所求的m取值范围是．…（10分） （2）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，解得﹣1＜m＜1． …（12分） 【点评】本题考查了轨迹方程的求法，椭圆性质的应用，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式及两直线垂直与斜率关系的相互转化得应用． 22. 设函数，其中，，为常数． （1）若，，试讨论函数的单调区间； （2）若函数在上单调递增，且，证明：，并求的最小值（用，的代数式表示）． 参考答案： （1）解：依题意得的定义域为，当时，． 若，，则，从而在上单调递增； 若，，则，从而在上单调递减； 若，，令，得，列表如下： 极小值 若，，令得，列表如下： 极大值 （2）证明：函数在上单调递增，则对任意实数均成立， 取实数，，则两式相加得：， 令，则，从而． 又由，当时，，若，则不恒成立，又，从而，从而． 下证． 记，，，由于， 在点处的切线方程为：． 接下来，我们证明， 构造函数，． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；