湖南省永州市宁远县第三中学高三数学理联考试题含解析

湖南省永州市宁远县第三中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 位于平面直角坐标系原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向是向上或向下，并且向上移动的概率为，则质点P移动4次后位于点（0，2）的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】几何概型． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】根据题意，分析可得质点P移动4次后位于点（0，2），其中向上移动3次，向右下移动1次，进而借助排列、组合知识，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，质点P移动4次后位于点（0，2），其中向上移动3次，向右下移动1次； 则其概率为C41×（）1×（）3=， 故选：D． 【点评】本题考查相互独立事件的概率的计算，其难点在于分析质点P移动4次后位于点（0，2），其中向上移动3次，向右下移动1次的情况，这里要借助排列组合的知识． 2. 已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 略 3. 已知，若共线，则实数x=                                                     （    ）          A．  B．      C．1         D．2 参考答案： B 4. 下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（   ） A.          B.      C. D. 参考答案： C 略 5. 若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是 (A)a＜－1          (B)≤1             (C) ＜1            （D）a≥1 参考答案： 答案：B 解析：若对任意R,不等式≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x<0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得，即实数a的取值范围是≤1，选B。 6. 在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（　　） A．13 B．26 C．52 D．56 参考答案： B 【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和． 【分析】可得a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得a4+a10=4，而S13==，代入计算可得． 【解答】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10， 代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4， 故数列的前13项之和S13= ===26 故选B 7. 已知向量，且，则实数a的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2或1 D．﹣2 参考答案： B 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】由，可得=0，解得a． 【解答】解：∵，∴=a+2（1﹣a）=0，解得a=2． 故选：B． 8. 若x、y满足约束条件　，则z=x+2y的取值范围是（　） A、[2,6]　B、[2,5]　C、[3,6]　D、（3,5] 参考答案： A 略 9. 已知集合,若对于任意,存在,使 得成立,则称集合是“集合”. 给出下列4个集合: ①             ② ③          ④ 其中所有“集合”的序号是 (  )A．①③ B．①④ C．②④ D．②③④ 参考答案： C 略 10. 若复数满足，则的虚部为（    ） A．             B．             C．          D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列四种说法：    （1）命题：“存在”的否定是“对任意”。    （2）若直线a、b在平面α内的射影互相垂直，则    （3）已知一组数据为20、30、40、50、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系是：众数>中位数>平均数。    （4）已知回归方程则可估计x与y的增长速度之比约为    （5）若A（-2，3），B（3，-2），三点共线，则m的值为2。          其中所有正确说法的序号是           。 参考答案： (1) （3）（4） 略 12. 已知满足约束条件，则的最大值是            参考答案： 5 13. 若双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线过点（2，1），则a=　　． 参考答案： 4 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入点（2，1），可得a的值． 【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为y=±x 由一条渐近线过点（2，1）， 可得， 所以a=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 14. 程序如下： t←1 i←2 While  i≤4 t←t×i i←i＋1 End  While Print  t 以上程序输出的结果是              ． 参考答案： 24 略 15. （几何证明选做题）如图圆的直径,P是AB的延长线上一点,过点P 作圆的切线,切点为C,连接AC,若,则        . 参考答案： 16. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是___  _米． 参考答案： 17. 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，梯形所在平面内一点P满足，则 =　　． 参考答案： ﹣1 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 建立坐标系，得到A，B，C，D的坐标，由得到P的坐标，再由向量的数量积运算解答． 解答： 解：如图在坐标系中，A（0，2），B（0，0），C（2，0），D（1，2），所以=（0，2），=（2，0）， 由，得到=（1，1）， 所以=（1，﹣1）（0，1）=﹣1； 故答案为：﹣1． 点评： 本题考查了向量数量积的坐标运算；关键是距离坐标系，利用坐标法解答本题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数（为常数）. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个不同的极值点，求实数a的取值范围. 参考答案： （1）见解析；（2）(0,1) 【分析】 （1）函数的定义域为，其导数，对分类讨论即可得出单调性．（2），其导函数．令，可得，令，令，列出表格即可得出单调性，结合图象即可得出． 【详解】（1）函数的定义域为，其导数 ①若，则，函数上单调递增； ②若，令，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减． （2），其导函数， 令，， 令，则，由， x （0，1） 1 + 0 - 取极大值     又因为时，恒成立，于是函数的图像如图所示 要使有两个不同的极值点，则需，即的取值范围为． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19. (本小题满分14分)已知椭圆： (a>b>0)上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为，离心率为，动点P在直线x＝3上，过F2作直线PF2的垂线l，设l交椭圆于Q点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值． 参考答案： 　(1)由条件得：， 所以椭圆E的方程为：. (2)设P(3，y0)，Q(x1，y1)， 20. （本小题满分13分）如图，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与轴垂直的直线与椭圆交于，而与抛物线交于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）若过的直线与椭圆相交于两点和，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围. 参考答案： 解⑴焦点,,   ⑵  即 设  得   即   . 21. 函数的 部分图像如右图所示， （1）求出函数的解析式； （2）若，求的值。 参考答案： 解：（1）  （2） 略 22. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知椭圆：（）的焦距为，且椭圆过点． （1）求椭圆的方程； （2）设、为椭圆上关于轴对称的两个不同的动点，求的取值范围． 参考答案： （1）解法一：由已知得，     ……………………………………………………（1分） 因为椭圆过点，所以      ………………………………（2分） 解得       ………………………………………………………………………（4分） 所以，椭圆的方程为．     ……………………………………………（6分） 解法二：由已知得，所以椭圆的两个焦点是，，……（1分） 所以，故，  ……………………（4分） 所以．          ……………………………………………………（5分） 所以，椭圆的方程为．  ………………………………………………（6分） （2）设，则（）， ，，  ………………………………（1分） 由，得，所以 ，    ………………………………………………………………（5分） 由题意，，所以．  ……………（7分） 所以，的取值范围是．   ………………………………（8分）