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湖南省永州市宁远县第三中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 位于平面直角坐标系原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向是向上或向下,并且向上移动的概率为,则质点P移动4次后位于点(0,2)的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】几何概型.
【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计.
【分析】根据题意,分析可得质点P移动4次后位于点(0,2),其中向上移动3次,向右下移动1次,进而借助排列、组合知识,由相互独立事件的概率公式,计算可得答案.
【解答】解:根据题意,质点P移动4次后位于点(0,2),其中向上移动3次,向右下移动1次;
则其概率为C41×()1×()3=,
故选:D.
【点评】本题考查相互独立事件的概率的计算,其难点在于分析质点P移动4次后位于点(0,2),其中向上移动3次,向右下移动1次的情况,这里要借助排列组合的知识.
2. 已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
3. 已知,若共线,则实数x= ( )
A. B. C.1 D.2
参考答案:
B
4. 下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 若对任意R,不等式≥ax恒成立,则实数a的取值范围是
(A)a<-1 (B)≤1 (C) <1 (D)a≥1
参考答案:
答案:B
解析:若对任意R,不等式≥ax恒成立,当x≥0时,x≥ax,a≤1,当x<0时,-x≥ax,∴a≥-1,综上得,即实数a的取值范围是≤1,选B。
6. 在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前13项的和是( )
A.13 B.26 C.52 D.56
参考答案:
B
【考点】等差数列的性质;等差数列的前n项和.
【分析】可得a3+a5=2a4,a7+a13=2a10,代入已知可得a4+a10=4,而S13==,代入计算可得.
【解答】解:由等差数列的性质可得:a3+a5=2a4,a7+a13=2a10,
代入已知可得3×2a4+2×3a10=24,即a4+a10=4,
故数列的前13项之和S13=
===26
故选B
7. 已知向量,且,则实数a的值为( )
A.0 B.2 C.﹣2或1 D.﹣2
参考答案:
B
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】由,可得=0,解得a.
【解答】解:∵,∴=a+2(1﹣a)=0,解得a=2.
故选:B.
8. 若x、y满足约束条件 ,则z=x+2y的取值范围是( )
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、(3,5]
参考答案:
A
略
9. 已知集合,若对于任意,存在,使
得成立,则称集合是“集合”. 给出下列4个集合:
① ②
③ ④
其中所有“集合”的序号是 ( )A.①③ B.①④ C.②④ D.②③④
参考答案:
C
略
10. 若复数满足,则的虚部为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列四种说法:
(1)命题:“存在”的否定是“对任意”。
(2)若直线a、b在平面α内的射影互相垂直,则
(3)已知一组数据为20、30、40、50、60、70,则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系是:众数>中位数>平均数。
(4)已知回归方程则可估计x与y的增长速度之比约为
(5)若A(-2,3),B(3,-2),三点共线,则m的值为2。
其中所有正确说法的序号是 。
参考答案:
(1) (3)(4)
略
12. 已知满足约束条件,则的最大值是
参考答案:
5
13. 若双曲线﹣=1(a>0)的一条渐近线过点(2,1),则a= .
参考答案:
4
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求出双曲线的渐近线方程,代入点(2,1),可得a的值.
【解答】解:双曲线﹣=1(a>0)的渐近线方程为y=±x
由一条渐近线过点(2,1),
可得,
所以a=4.
故答案为:4.
【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
14. 程序如下:
t←1
i←2
While i≤4
t←t×i
i←i+1
End While
Print t
以上程序输出的结果是 .
参考答案:
24
略
15. (几何证明选做题)如图圆的直径,P是AB的延长线上一点,过点P 作圆的切线,切点为C,连接AC,若,则 .
参考答案:
16. 如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是___ _米.
参考答案:
17. 在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足,则 = .
参考答案:
﹣1
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 平面向量及应用.
分析: 建立坐标系,得到A,B,C,D的坐标,由得到P的坐标,再由向量的数量积运算解答.
解答: 解:如图在坐标系中,A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(1,2),所以=(0,2),=(2,0),
由,得到=(1,1),
所以=(1,﹣1)(0,1)=﹣1;
故答案为:﹣1.
点评: 本题考查了向量数量积的坐标运算;关键是距离坐标系,利用坐标法解答本题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数(为常数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)设函数有两个不同的极值点,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)见解析;(2)(0,1)
【分析】
(1)函数的定义域为,其导数,对分类讨论即可得出单调性.(2),其导函数.令,可得,令,令,列出表格即可得出单调性,结合图象即可得出.
【详解】(1)函数的定义域为,其导数
①若,则,函数上单调递增;
②若,令,解得,
函数在上单调递增,在上单调递减.
(2),其导函数,
令,,
令,则,由,
x
(0,1)
1
+
0
-
取极大值
又因为时,恒成立,于是函数的图像如图所示
要使有两个不同的极值点,则需,即的取值范围为.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究函数的极值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19. (本小题满分14分)已知椭圆: (a>b>0)上任意一点到两焦点F1,F2距离之和为,离心率为,动点P在直线x=3上,过F2作直线PF2的垂线l,设l交椭圆于Q点.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值.
参考答案:
(1)由条件得:,
所以椭圆E的方程为:.
(2)设P(3,y0),Q(x1,y1),
20. (本小题满分13分)如图,椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,过作与轴垂直的直线与椭圆交于,而与抛物线交于两点,且.(1)求椭圆的方程;(2)若过的直线与椭圆相交于两点和,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),求实数的取值范围.
参考答案:
解⑴焦点,,
⑵ 即
设
得
即
.
21. 函数的
部分图像如右图所示,
(1)求出函数的解析式;
(2)若,求的值。
参考答案:
解:(1)
(2)
略
22. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知椭圆:()的焦距为,且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设、为椭圆上关于轴对称的两个不同的动点,求的取值范围.
参考答案:
(1)解法一:由已知得, ……………………………………………………(1分)
因为椭圆过点,所以 ………………………………(2分)
解得 ………………………………………………………………………(4分)
所以,椭圆的方程为. ……………………………………………(6分)
解法二:由已知得,所以椭圆的两个焦点是,,……(1分)
所以,故, ……………………(4分)
所以. ……………………………………………………(5分)
所以,椭圆的方程为. ………………………………………………(6分)
(2)设,则(),
,, ………………………………(1分)
由,得,所以
, ………………………………………………………………(5分)
由题意,,所以. ……………(7分)
所以,的取值范围是. ………………………………(8分)
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