山西省朔州市应县第六中学高二数学理测试题含解析

山西省朔州市应县第六中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在对人们休闲方式的一次调查中，得到数据如下表： 　　　　休闲方式 性别　　　　　 看电视 运动 合计 女 43 27 70 男 21 33 54 合计 64 60 124 为了检验休闲方式是否与性别有关系，根据表中数据得： k＝≈6.201. P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 给出下列命题： ①至少有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关． ②最多有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关． ③在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为休闲方式与性别有关系． ④在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为休闲方式与性别无关． 其中的真命题是 A．①③  B．①④  C．②③  D．②④ 参考答案： A　 ∵k＝6.201≥5.024，∴①③正确．选A. 2. 已知△ABC内一点O满足=，若△ABC内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】几何概型． 【分析】要求该概率即求S△AOC：S△ABC=的比值．由=，变形为，3=，得到O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，两三角形同底，面积之比转化为概率． 【解答】解：以，为邻边作平行四边形OBDC，则+= ∵=， ∴3=， 作AB的两个三等分点E，F，则==， ∴O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，如图 ∴S△AOC=S△ABC． 故△ABC内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为， 故选：C． 3. “m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的（　　） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题． 【分析】利用两条直线垂直的充要条件化简“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”，然后判断前者成立能推出后者成立，后者成立推不出前者成立，利用充要条件的有关定义得到结论． 【解答】解：直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充要条件为： 3m+（2m﹣1）m=0 解得m=0或m=﹣1； 若m=﹣1成立则有m=0或m=﹣1一定成立； 反之若m=0或m=﹣1成立m=﹣1不一定成立； 所以m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分不必要条件． 故选B． 【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，然后两边互推一下，利用充要条件的有关定义进行判断，属于基础题． 4. 抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”； 事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于 Ａ．           Ｂ．         Ｃ．          Ｄ． 参考答案： C 略 5. 已知数列{an}，a1=1，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上，则（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 考点;数列的求和． 专题;计算题；转化思想． 分析;由“P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上”可得到数列的类型，再求其通项，求其前n项和，进而得到新数列的规律，选择合适的方法求新数列的和． 解答;解：∵点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上 ∴an﹣an+1+1=0 ∴数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列． ∴an=n ∴ ∴= = 故选C 点评;本题主要是通过转化思想将解析几何问题转化为数列问题，来考查数列的通项公式及前n项和的求法． 6. 在的展开式中，若第九项系数最大，则的值可能等于      （    ）     A、14,15          B、15,16           C、16,17      D、14,15,16 参考答案： B 略 7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　） A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形， 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图， 所以S底==10， S后=， S右==10， S左==6． 几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6． 故选：B． 8. 观察下列各式：则＝ A. 28                     B. 123                          C. 76                           D. 199 1   x   t2   1   y   参考答案： B 略 9. 椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 10. 在中，已知，，，P为线段AB上的一点，且.，则的最小值为(      ) A．            B．           C．         D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 以原点为极点，以轴正半轴为极轴且与直角坐标系取相同的长度单位建立极坐标系．若圆的极坐标方程为，则其直角坐标方程为__________． 参考答案： 极坐标方程，两边同乘以， ∴， ∴， ∴． 12. 已知关于x的方程x2+ax+2b=0（a∈R，b∈R）的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，则的取值范围为　　． 参考答案： （，2） 【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系． 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】设f（x）=x2+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，设点E（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=，表示点E（a，b）与点D（1，3）连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，算出k的取值范围即可得出结论． 【解答】解：设f（x）=x2+ax+2b， ∵方程x2+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内， ∴可得． 作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域， 得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）． 其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0）， 设点E（a，b）为区域内的任意一点， 则k=，表示点E（a，b）与点D（1，3）连线的斜率． ∵KAD==，kCD==，∴KAD＜k＜KCD， ∴k的取值范围是（，）， 则的取值范围为（，2） 故答案为：（，2）． 【点评】本题着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题． 13. 若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________． 参考答案： 略 14. 执行右图中程序， 若输入：m=324，n=243， 则输出的结果为：________ 参考答案： 81 略 15. 在极坐标中曲线与的两交点之间的距离为        . 参考答案： 2 略 16. 不等式ax2+4x+a＜1﹣2x2对?x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣3） 【考点】二次函数的性质． 【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＜0恒成立，讨论a+2=0，a+2＜0，判别式小于0，a+2＞0，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＜0恒成立， 当a+2=0，即a=﹣2时，不等式为4x﹣3＜0不恒成立； 当a+2＜0，即a＜﹣2，判别式小于0，即16﹣4（a+2）（a﹣1）＜0， 解得a＞2或a＜﹣3，可得a＜﹣3； 当a+2＞0，不等式不恒成立． 综上可得，a的范围是a＜﹣3． 故答案为：（﹣∞，﹣3）． 【点评】本题考查二次不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题． 17. 设函数f(x)＝－x3＋3x＋2，若不等式f(3＋2sin θ)＜m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围为________． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=xlnx，（e=2.718…）． （1）设g（x）=f（x）+x2﹣2（e+1）x+6， ①记g（x）的导函数为g'（x），求g'（e）； ②若方程g（x）﹣a=0有两个不同实根，求实数a的取值范围； （2）若在[1，e]上存在一点x0使成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）①求出函数的导数，计算g′（e）的值即可；②求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可； （2）问题转化为，令，根据函数的单调性求出m的范围即可． 【解答】解：f（x）的定义域（0，+∞），g（x）的定义域为（0，+∞）， （1）①g'（x）=lnx+1+2x﹣2e﹣2，∴g'（e）=0； ②，∴g'（x）递增，又g'（e）=0， 所以g（x）在（0，e）上递减，（e，+∞）递增， 又x趋于0的时候，g（x）趋于6； x趋于+∞的时候，g（x）趋于+∞， 又g（e）=6﹣e2﹣e，所以a∈（6﹣e2﹣e，6）； （2）由题可得， ∴，∴， 令，则h（x）在[1，e]上的最小值小于0， 又， ①当m+1≥e时，即m≥e﹣1，h（x）在[1，e]上递减， 所以h（e）＜0，解得； ②当m+1≤1即m≤0，h（x）在[1，e]递增， ∴h（1）＜0解得m＜﹣2； ③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1， 此时要求h（1+m）＜0又0＜ln（1+m）＜1， 所以0＜mln（1+m）＜m， 所以h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2， 此时h（1+m）＜0不成立， 综上m＜﹣2或． 19. 函数f (x)＝x2＋ax＋3，当x∈[－2, 2]时f (x)≥a恒成立，求a的取值范围据统计，某市的工业垃圾若不回收处理，每吨约占地4平方米，2002年，环保部门共回收处理了100吨工业垃圾，且以后垃圾回收处理量每年递增20%（工业垃圾经回收处理后，不再占用土地面积）.    （Ⅰ）2007年能回收处理多少吨工业垃圾？（精确到1吨）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                   （Ⅱ）从2002年到2015年底，可节约土地多少平方米（精确到1m2） （参考数据：1.24≈2.1  1.55=2.5   1.26=3.0   1.213≈10.7   1.214≈12.8）   参考答案： 解析：（Ⅰ）环保部门每年对工业垃圾的回收处理量构成一个等比