山西省太原市重型机械学院子第中学高二数学理下学期期末试卷含解析

山西省太原市重型机械学院子第中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 为虚数单位，复数                                                  Ａ.        Ｂ.        Ｃ.        Ｄ. 参考答案： A 2. 设，若，则S的值为（  ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 分别取代入式子，相加计算得到答案. 【详解】取得： 取得： 两式相加得到 故答案选D 【点睛】本题考查了二项式定理，取特殊值是解题的关键. 3. 在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是2，那么该定点到原点的距离是（    ） A.          B.        C.        D. 参考答案： A 略 4. 复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为（　　） A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．5 参考答案： D 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得的答案． 【解答】解：∵z=（1﹣i）（4﹣i）=3﹣5i， ∴， 则复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为5． 故选：D． 5. 是方程表示椭圆的（     ）条件。 A .  充分不必要  B.  必要不充分        C. 充要           D. 既不充分也不必要   参考答案： B 略 6. 经过抛物线的焦点,且斜率为的直线方程为（   ） A．  B． C． w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D． 参考答案： D 略 7. 在中，是为锐角三角形的 A.充分不必要条件    B.必要不充分条件 C.充要条件          D.既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 8. 函数,已知在时取得极值,则=(   ) A.2                 B.3             C.4            D.5 参考答案： D 9. 在复平面上，复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： A 【分析】 化简复数，判断对应点的象限. 【详解】，对应点为在第一象限. 故答案选A 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题. 10. 抛物线的焦点坐标为 (  ) A.   B.    C.   D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数列{}的前n项和,则   参考答案： 161 12. 设是不重合的两直线，是不重合的两平面，其中正确命题的序号是     ． ①若//，则；         ②若，则； ③若，则//；  ④若，则//或 参考答案： ②④ 13. 若θ角的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是_____． 参考答案： ，，，. 略 14. 非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为________． 参考答案： 15. 已知点（x，y）在如图所示的阴影部分内运动，则z=2x+y的最大值是　  　． 参考答案： 6 【考点】简单线性规划． 【分析】将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由几何意义可得． 【解答】解：将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距， 故由图可得， 当过点（3，0）时，有最大值， 即z=2x+y的最大值是6+0=6； 故答案为：6． 16. 如图四面体O﹣ABC中， ==， =，D为AB的中点，M为CD的中点，则=　　（，，用表示） 参考答案： +﹣ 【考点】空间向量的数乘运算． 【专题】数形结合；转化思想；空间向量及应用． 【分析】由于=， =，，代入化简即可得出． 【解答】解： =， =，， ∴=﹣ =﹣ =+﹣． 故答案为： +﹣． 【点评】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 已知向量，， 若向量，那么?????。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。 （1）求实数的值及的解析式； （2）若是正数，设，求的最小值； （3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： （1）依题意有 ； 故实数 （4分）                       （2） ，的定义域为； 增函数减函数 （8分） （3） 由(2)知 对一切恒成立 故实数的取值范围. （12分） 19. 已知函数f（x）=ax2+bx+c，且． （1）求证：a＞0且； （2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的范围． 参考答案： 【考点】函数的零点与方程根的关系；二次函数的性质． 【专题】综合题． 【分析】（1）根据f（1）=a+b+c=﹣，可得c=﹣a﹣b，结合3a＞2c＞2b，可得结论； （2）利用零点存在定理，证明f（0）×f（2）＜0即可； （3）|x1﹣x2|2=（x1 +x2）2﹣4x1x2==（﹣）2+2≥2，由此可得结论． 【解答】（1）证明：∵f（1）=a+b+c=﹣，∴c=﹣a﹣b ∴3a＞2c=﹣3a﹣2b，∴3a＞﹣b， ∵2c＞2b，∴﹣3a＞4b； 若a＞0，则；若a=0，则0＞﹣b，0＞b，不成立；若a＜0，则，不成立． （2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，f（1）=﹣，△=b2﹣4ac=b2+4ab+6a2＞0 ①当c＞0时，f（0）＞0，f（1）＜0，所以f（x）在（0，1）上至少有一个零点 ②当c=0时，f（0）=0，f（2）=4a+2b=a＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点 ③当c＜0时，f（0）＜0，f（1）＜0，b=﹣a﹣c，f（2）=4a﹣3a﹣2c+c=a﹣c＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点 综上：所以f（x）在（0，2）上至少有一个零点． （3）c=﹣a﹣b，（|x1﹣x2|）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=b2﹣4ac |a|=（+2）2+2 因为﹣3＜b/a＜﹣，所以（|x1﹣x2|）2∈ 20. 如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点， 且CD⊥平面PAB． （Ⅰ）求证：AB⊥平面PCB； （Ⅱ）求二面角C-PA-B的大小的正弦值．                                             参考答案： I）证明：∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，                       ∴PC⊥AB．                                  2分         ∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，        ∴CD⊥AB．                                       4分       又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．                           6分   略 21. （本题18分） 已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，若方程的解集恰有3个元素，求的取值范围． 参考答案： 解：（Ⅰ），依题意是方程的解，∴．（Ⅱ）由有三个相异实根，故方程有两个相异的非零实根．∴，∴．   略 22. 设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足． （1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解答】解：由（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0， 得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0． 由解得2＜x≤3． 即q：2＜x≤3． （1）若a=1，则p：1＜x＜3， 若p∧q为真，则p，q同时为真， 即，解得2＜x＜3， ∴实数x的取值范围（2，3）． （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件， ∴，即， 解得1＜a≤2．