山西省吕梁市第四高级中学高二数学理期末试卷含解析

山西省吕梁市第四高级中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的(   )    A．充分而不必要条件                     B．必要而不充分条件 C．充要条件          w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  D ．既不充分也不必要条件      参考答案： C 2. 设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为(     ) A．（﹣∞，） B．[，5] C．（﹣∞，﹣3） D．（﹣∞，5] 参考答案： C 考点：利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用． 分析：本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m的取值范围，得到本题结论． 解答： 解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2， ∴f′（x）=x4﹣mx3﹣4x， ∴f″（x）=x3﹣mx2﹣4． ∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”， ∴f″（x）＞0． ∴x3﹣mx2﹣4＞0，x∈（1，3）． ∴， ∵在（1，3）上单调递增， ∴在（1，3）上满足：＞1﹣4=﹣3． ∴m≤﹣3． 故答案为：C． 点评：本题考查了二阶导数和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题． 3. 函数的大致图像为（  ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 本题采用特值法判断即可，选择有效特值代入即可判断正确答案 【详解】从选项中可知，采用特值法进行代入求解，对于函数 取得，，排除A，D； 取得，，排除C； 得到答案选B 【点睛】本题考查函数图像问题，适用特值法求解，属于基础题 4. 下列函数中，满足“”的单调递增函数是（   ） （A）（B）      （C）     （D） 参考答案： A 5. 已知中，a=5, b = 3 , C = 1200 ,则sinA的值为（  ） A、    B、    C、      D、 参考答案： A 6. “∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为 A．正方形都是对角线相等的四边形        B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形      D．矩形都是对边平行且相等的四边形 参考答案： B 略 7. 若函数在内有极小值，则（   ） A    B     C    D 参考答案： A 略 8. 已知船在灯塔北偏东且到的距离为2km，船在灯塔西偏北且到的距离为，则两船的距离为 A．km         B．km          C．km       D．km 参考答案： D 9. 过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（　　） A．30° B．45° C．60° D．135° 参考答案： B 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得倾斜角． 【解答】解：y=x2的导数为y′=2x， 在点的切线的斜率为k=2×=1， 设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°）， 由k=tanα=1， 解得α=45°． 故选：B． 10. 若直线和椭圆恒有公共点，则实数b的取值范围是(  ) A.[2,+∞) B. [2,3)∪(3,+∞) C. [2,3) D. (3,+∞) 参考答案： B 【分析】 根据椭圆1（b＞0）得出≠3，运用直线恒过（0，2），得出1，即可求解答案． 【详解】椭圆1（b＞0）得出≠3， ∵若直线 ∴直线恒过（0，2）， ∴1,解得 ，故实数的取值范围是 故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列{an}满足，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，则S2015=　　． 参考答案： ﹣1 【考点】数列递推式． 【专题】计算题；分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】由数列{an}满足，a1=1，可得a4k﹣3=1，a4k﹣2=﹣1，a4k﹣1=﹣1，a4k=1，k∈N*．即可得出． 【解答】解：∵数列{an}满足，a1=1， ∴a2=﹣1，a3=﹣1，a4=1，a5=1…， ∴a4k﹣3=1，a4k﹣2=﹣1，a4k﹣1=﹣1，a4k=1，k∈N*．即数列各项的值呈周期性出现 ∴S2015=503×（1﹣1﹣1+1）+（1﹣1﹣1）=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 12. 已知线段AB上有10个确定的点（包括端点A与B）．现对这些点进行往返标数（从A→B →A→B→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）．如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n的点称为点n），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2013都被标记到点上．则点2013上的所有标数中，最小的是       ． 参考答案： 略 13. 下列说法中正确的有________ ①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大 ③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。 ④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型。 参考答案： ③④ 14. 若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是　   　． 参考答案： 4 【考点】基本不等式． 【分析】先根据ln（a+b）=0求得a+b的值，进而利用=（）（a+b）利用均值不等式求得答案． 【解答】解：∵ln（a+b）=0， ∴a+b=1 ∴=（）（a+b）=2++≥2+2=4 故答案为：4 15. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为,则球的表面积为           . 参考答案： 略 16. =　 　． 参考答案： e 【考点】67：定积分． 【分析】找出被积函数的原函数，然后计算求值． 【解答】解： =（ex+x2）|=e+1﹣1=e， 故答案为：e 【点评】本题考查了定积分的计算；关键是明确被积函数的原函数． 17. 抛物线的准线方程为                   参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）    已知数列的前n项和（n为正整数）。   （Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；   （Ⅱ）令，求证：。 参考答案： 19. 随着智能手机等电子产品的普及，“低头族”正成为现代社会的一个流行词．在路上、在餐厅里、在公交车上，随处可见低头玩手机的人，这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情，也对人们的健康构成一定的影响．为此，某报社发起一项专题调查，记者随机采访了M名市民，得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间（单位：小时），根据此数据作出频数的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 [0，0.5） 4 0.10 [0.5，1） m p [1，1.5） 10 n [1.5，2） 6 0.15 [2，2.5） 4 0.10 [2.5，3） 2 0.05 合计 M 1 （Ⅰ）求出表中的M，p及图中a的值； （Ⅱ）试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间（同一组的数据用该组的中间值作代表）； （Ⅲ）在所取样本中，从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人，求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）由频率=，利用频率分布表频率分布直方图能求出表中的M，p及图中a的值． （Ⅱ）先求出，由此利用频率分布直方图能估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间． （Ⅲ）所取样本中，一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人，由此利用列举法能求出两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率． 【解答】解：（Ⅰ）∵分组[0，0.5）内的频数是4，频率是0.10 ∴，得M=40… ∵频数之和为M=40 ∴4+m+10+6+4+2=40，得m=14 ∴分组[0.5，1）内的频率… ∵a是分组[0.5，1）内频率与组距的商， ∴… （Ⅱ）， 设这40名市民一天内低头玩手机的平均时间为x， 则x=0.25×0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+2.25×0.1+2.75×0.05=1.225… （Ⅲ）所取样本中，一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人… 设一天内低头玩手机的时间在区间[2，2.5）内的人为a1，a2，a3，a4， 在区间[2.5，3）内的人为b1，b2， 则任取2人有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4）， （a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15种情况… 其中两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内有： （a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）共6种情况… ∴两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率为… 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 20. 已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1． （1）当a=1时，试判断函数f（x）的单调性； （2）对于任意的x∈[0，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：综合题；导数的综合应用． 分析：（1）求导函数，利用导数的正负，确定函数的单调性； （2）f（x）≥0对任意的x∈[0，+∞），恒成立，即在x∈[0，+∞）上，f（x）min≥0．分类讨论，构造函数，确定函数的单调性，即可求得实数a的值． 解答： 解：（1）a=1时，f′（x）=ex﹣1， 当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0． ∴f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （2）任意的x∈[0，+∞），f（x）≥0恒成立，即任意的x∈[0，+∞），f（x）min≥0． f′（x）=ex﹣a， 当a≤1时，f′（x）＞0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）min=f（0）≥0，满足题意； x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0； a＞1时，由f′（x）=ex﹣a=0得x=