山西省临汾市汾河中学高二数学理期末试题含解析

山西省临汾市汾河中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，，，则                   .       .     . 参考答案： B 略 2. 抛物线的焦点坐标是（　　） A．（4，0）   B.（- 4，0）      C.(2，0）          D.（- 2，0） 参考答案： D 3. 下列命题中的假命题是（   ） A．,                B. , C． ,                D. , 参考答案： B 略 4. 已知定义在R上的函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是     A.                          B.  ks5u     C.                              D. 参考答案： C 5. 如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有 13个花盆，则底层的花盆的个数是（   ） A．91           B．127          C．169          D．255 参考答案： B 6. x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是                      （　 ） A．－＜x＜3               B．－＜x＜0      C．－3＜x＜        D．－1＜x＜6 参考答案： D 略 7. 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(     ) A.91.5和91.5    B.91.5和92    C.91和91.5    D.92和92 参考答案： A 略 8. 某班级要从4名男生2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有一名女生的选法为（   ） A．14             B．8            C．6             D．4 参考答案： A 9. 某同学每次投篮命中的概率为，那么他3次投篮中恰有2次命中的的概率是（  ） A.         B.          C.            D. 参考答案： C 略 10. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（　　） A． cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形． 【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直， ∴V=××3×1×3=． 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为____________． 参考答案： 略 12. 已知数列{an}满足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*），则a1=               ． 参考答案： 2 【考点】数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】利用递推公式，结合递推思想求解． 【解答】解：∵数列{an}满足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*）， ∴a2=×（5+1）=3． a1==2． 故答案为：2． 【点评】本题考查数列的第3项的求法，是基础题，解题时要注意递推思想的合理运用． 13. 命题“若，则”的逆否命题是                 . 参考答案： 若，则 14. 已知是定义在上的奇函数，且．当时，，则________． 参考答案： －3 f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3. 15. 函数的单调减区间为 ； 参考答案： 16. 已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为___▲_____； 参考答案： 略 17. 已知点，，直线上有两个动点M,N，始终使，三角形的外心轨迹为曲线C，P为曲线C在一象限内的动点，设,,,则（     ） A、             B、 C、            D、 参考答案： C 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （2015春?南昌校级期末）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0） （1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值； （2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求的最小值． 参考答案： 9 考点： 一元二次不等式的解法；基本不等式．  分析： （1）由不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值； 解答： 解：（1）由f（x）＜0的解集是（﹣1，3）知﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可得，解得 （2）f（1）=2得a+b=1， ∵a＞0，b＞0 ∴（a+b）（）=5+=5+2≥9 ∴的最小值是9 点评： 此题考查了不等式的解法，属于基础题 19. 已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求: （Ⅰ）当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率． （Ⅱ）当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率． 参考答案： 略 20. （10分）三个不同的数成等差数列，其和为6，如果将此三个数重新排列，他们又可以成等比数列，求这个等差数列。 参考答案： ,2,8或8,2, 21. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点． （i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值； （ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，则a2=4b2． ∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2． 将y=x代入可得， 因此，解得a=2． 则b=1． ∴椭圆C的方程为； （Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2）， 则B（﹣x1，﹣y1）． ∵直线AB的斜率， 又AB⊥AD， ∴直线AD的斜率． 设AD方程为y=kx+m， 由题意知k≠0，m≠0． 联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0． ∴． 因此． 由题意可得． ∴直线BD的方程为． 令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）． 可得． ∴，即． 因此存在常数使得结论成立． （ii）直线BD方程为， 令x=0，得，即N（）． 由（i）知M（3x1，0）， 可得△OMN的面积为S==． 当且仅当时等号成立． ∴△OMN面积的最大值为． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题． 22. 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2（an﹣n），n∈N+*． （1）证明：{an+2}是等比数列，并求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn=log2（an+2），Tn为数列{}的前n项和，求Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）由Sn=2（an﹣n）=2an﹣2n，n∈N+*，得Sn﹣1=2an﹣1﹣2（n﹣1），n≥2，从而an+2=2（an﹣1+2），n≥2，由此能证明{an+2}是首项为4，公比为2的等比数列，并能求出{an}的通项公式． （2）由bn==n+1，得==，由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和． 【解答】证明：（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2（an﹣n）=2an﹣2n，n∈N+*， ∴Sn﹣1=2an﹣1﹣2（n﹣1），n≥2， ∴Sn﹣Sn﹣1=an=2an﹣2an﹣1﹣2，n≥2， ∴an+2=2（an﹣1+2），n≥2， 当n=1时，S1=2a1﹣2=a1，解得a1=2，a1+2=4， ∴{an+2}是首项为4，公比为2的等比数列． ∴， ∴． （2）∵bn==n+1， ∴==， ∴数列{}的前n项和： Tn= =． 【点评】本题考查等比数列的证明和数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用．