四川省广安市职业中学2022年高三数学理月考试卷含解析

四川省广安市职业中学2022年高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体  积为   A．           B．       C．        D． 参考答案： A 略 2. 已知复数、是虚数单位）满足不等式表示复数z的共轭复数），则u=|2x－y+1|的取值范围是                            （    ）     A．        B． C．[0，]       D．[0，1+] 参考答案： 答案：C 3. 设全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={0,1,3,5,8},B={2,4,5,6,8}， 则(eUA)∩(eUB)=(   ). A.{5,8}    B.{7,9}    C.{0,1,3}    D.{2,4,6} 参考答案： B 4. 函数的导函数在区间上的图像大致是 参考答案： A 略 5. 等差数列的前n项和为，若，则等于（    ） A.52          B.54            C.56           D.58 参考答案： A 6. 如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是   A．    B．   C．    D． 参考答案： A 7. 汽车以作变速运动时，在第1s至2s之间的内经过的路程是 A. 5m  B. C.6m D. 参考答案： D 8. 设x，y满足约束条件，若目标函数 的最大值为12，则ab的  取值范围是 A.       B．      C．       D. 参考答案： A 略 9. 下列五个命题中正确命题的个数是(       ) （1）对于命题，则，均有； （2）是直线与直线互相垂直的充要条件； (3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08 (4)．若实数，则满足的概率为. (5) 曲线与所围成图形的面积是                                  A.2            B.3                  C.4                 D.5 参考答案： A 略 10. 如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（　　） A．这14天中有7天空气质量优良 B．这14天中空气质量指数的中位数是103 C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好 D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日 参考答案： B 解：由 图可知，空气质量指数小于100表示空气质量优良，有7天，A正确， 空气质量指数从小到大为：25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，3月1日至14日空气质量指数的中位数为：，B不成立， C，正确， D，正确，偏差最大， 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义min{p，q}表示p、q中的较小者，若函数，则满足f(x)＜2的x的取值范围是        ． 参考答案： (0，4)∪(4，＋∞) 略 12. 如图所示，一辆装载集装箱的载重卡车高为3米，宽为2.2米，欲通过断面上部为抛物线形，下部为矩形ABCD的隧道．已知拱口宽AB等于拱高EF的4倍，AD=1米．若设拱口宽度为t米，则能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于　　． 参考答案： 9 【考点】K9：抛物线的应用． 【分析】建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，即可求出求出能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值． 解：建立如图所示的坐标系，则B（，﹣）， 设抛物线方程为x2=ay，则，∴a=﹣t， ∴x2=﹣ty， 由题意，x=1.1，y=﹣ ∴﹣+≥2， t=8，﹣+＜2，t=9，﹣+＞2， ∴能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于9． 故答案为9． 13. （不等式选做题）不等式的解集是___________. 参考答案： 14. 等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则=______． 参考答案： 15. 已知O为坐标原点，点M的坐标为（2，1），点N（x，y）的坐标x、y满足不等式组的取值范围是          。 参考答案： 略 16. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______. 参考答案： 【分析】 根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程． 【详解】椭圆的焦点为F（±1，0）， 顶点为（±，0）； 则双曲线顶点为（±1，0），焦点为（±，0）， ∴a＝1，c＝， ∴b1， ∴双曲线的方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题． 17. 若，定义由右框图表示的运算 （函数是函数的反函数），若输入时， 输出，则输入时，输出　　　　　　． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C2的方程为 (a>b>0)，离心率为，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线C1的方程为 (p>0)，焦点F与椭圆的一个顶点重合．     (I)求椭圆C2和抛物线C1的方程；     (II)过点F的直线交抛物线C1于不同两点A，B，交y轴于点N，已知，求的值；   (III)直线l交椭圆C2于不同两点P，Q，P，Q在x轴上的射影分别为P，Q，满足 (O为原点)，若点S满足，判定点S是否在椭圆C2上，并说明理由． 参考答案： 解：（Ⅰ）由题意，椭圆的方程为，又 解得,∴椭圆的方程是. 由此可知抛物线的焦点为,得,所以抛物线的方程为.          ………………4分 （Ⅱ）是定值,且定值为,由题意知， 直线的斜率存在且不为，设直线的方程为, 则联立方程组 消去 得:且,由,得整理得可得 .                                                           ………………9分 （Ⅲ）设则 由得…① 将点坐标带入椭圆方程得,…② …③ 由①+②+③得 所以点满足椭圆的方程,所以点在椭圆上.………13分   略 19. 如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于，， （1）求证： （2）当时，求的长. 参考答案： 证明：(1)连接DE， ∵ACDE为圆的内接四边形.   ∴∠BDE=∠BCA 又∠DBE=∠CBA ∴△BDE∽△BCA 即 而 AB=2AC ∴BE=2DE 又CD是∠ACB的平分线  ∴AD=DE 从而BE=2AD. 略 20. 已知函数 （1）若存在正数a，使恒成立，求实数b的最大值； （2）设，若没有零点，求实数b的取值范围. 参考答案： (1)1(2) 【分析】 （1）先对函数求导，再由导数研究出原函数的单调性，确定最大值，结合条件中的不等式，分离参数，得到关于的函数就，再利用导数求出的最大值； （2）把的值代入，利用导数研究的单调区间，要使没有零点，则的最小值大于0，然后分类参数，即可求出实数的取值范围。 【详解】解：（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，在上是减函数， 故当时，函数取得极大值. 若对任意恒成立， 当且仅当，即成立. 设，则. 当时，是增函数； 当时，是减函数， 所以当时，取得极大值，即. 所以，即实数的最大值是. （2），所以 ， 设，则在上是增函数， 又， 所以在区间内存在唯一零点，即. 当时，，即； 当时，，即，所以在上是减函数，在 上是增函数，所以. 因为没有零点，所以， 即， 所以的取值范围是. 【点睛】本题考查导数在函数恒成立问题中应用、零点问题的判定以及分离参数法，属于较难题目 21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD， （Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC； （Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC； （II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA ∴PA⊥平面ABCD 结合AB⊥AD，可得 分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示… 可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0）， P（0，0，λ）   （λ＞0） ∴，， 得，， ∴DE⊥AC且DE⊥AP， ∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC． ∵ED?平面PED∴平面PED⊥平面PAC （Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是， 设直线PE与平面PAC所成的角为θ， 则，解之得λ=±2 ∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2） 设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），， 由， ，得到， 令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1） ∴cos＜， 由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角， ∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为． 【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题． 22. （本小题满分13分）已知且，函数，，记 （I）求函数的定义域及其零点； （II）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围. 参考答案： （1）（且） ，解得，所以函数的定义域为 令，则……（*）方程变为 ，，即 解得，……4分 经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为，所以函数的零点为 ………………………………6分 （2）（） ， 设，则函数在区间上是减函数，当时，此时，，所以。①若，则，方程有解；②若，则，方程有解。。。。。13分