2022-2023学年辽宁省沈阳市第一一0中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市第一一0中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（其中表示不大于的最大整数）可以表示为（    ） A．     B．      C．      D． 参考答案： C 试题分析：规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．也就是余数是7,8,9时可以增选一名代表,也就是要进一位需增加3.所以各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系式可表示为.故C正确. 考点：函数解析式. 2. 已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是 A. 个       B. 个       C. 个       D. 参考答案： B 略 3. 已知条件p：k=，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的 A．充分不必要条件                                          B．必要不充分条件 C．充要条件                                                    D．既不充分又不必要条件 参考答案： 答案：A 4. 命题；命题，则命题是命题成立的（     ） A. 充分不必要条件       B. 必要不充分条件 C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件 参考答案： B 5. 将函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（    ） A.                 B. C.                 D. 参考答案： B 略 6. 将函数图像所有点横坐标缩短为原来一半，再向右平移，得到函数的图像，那么关于的论断正确的是（   ） （A）周期为，一个对称中心为   （B）周期为，一个对称中心为 （C）最大值为2，一条对称轴为    （D）最大值为1，一条对称轴为 参考答案： C 略 7. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（ ） A．         B．       C.          D． 参考答案： D 8. 函数的零点有 A．0     B．1     C．2     D．3 参考答案： C 试题分析：在同一个坐标系中，画出函数与函数的图象，则图象的交点个数，就是函数的零点的个数，由图象知，函数图象交点为2个，故函数的零点为2个，故答案为C   考点：函数零点个数的判断 9. 已知实数a，b满足（a+i）（1﹣i）=3+bi（i为虚数单位），记z=a+bi，则|z|是（　　） A． B． C．5 D．25 参考答案： B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出． 【解答】解：实数a，b满足（a+i）（1﹣i）=3+bi（i为虚数单位）， ∴a+1+（1﹣a）i=3+bi，可得a+1=3，1﹣a=b， 解得a=2，b=﹣1． ∴z=a+bi=2﹣i， 则|z|=． 故选：B． 10. 给出下列不等式：①a2＋1≥2a；②≥2；③x2＋≥1．其中正确的个数是 （　　） A．0       B．1         C．2           D．3 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为， 是双曲线上的一点，若，则     ▲     . 参考答案： 答案：0 12. 在等比数列中，，则      ，为等差数列，且，则数列的前5项和等于       . 参考答案： 13. 已知函数图象上一点处的切线为，若方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是        参考答案： 略 14. 已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为，动点分别在和上，且，则过三点的动圆扫过的区域的面积为   ▲    ． 参考答案： 18π 略 15. 若函数为偶函数，则__________. 参考答案： 略 16. 在区间上随机取一个数，则的值介于0到的概率为      . 参考答案： 略 17. 在中，若，，，则            ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，当 且时，求sin2A的值. 参考答案： 解析： …………………………6分 ……………………10分 ……………………12分 19. 已知椭圆E：的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线也椭圆E相交于A，B两点，且|AF|+|BF|=，|AB|最小值为2。    （1）求椭圆E的方程；    （2）若圆：与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由。 参考答案： 20. 设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R） （1）求证：f（x）≥2； （2）若不等式f（x）≥对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围． 参考答案： 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法． 【分析】（1）利用三角不等式证明：f（x）≥2； （2）g（b）=≤=3，可得f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，分类讨论，求x的取值范围． 【解答】（1）证明：f（x）=|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2； （2）解：g（b）=≤=3， ∴f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3， x≤﹣1时，﹣2x≥3，∴x≤﹣1.5，∴x≤﹣1.5； ﹣1＜x≤1时，2≥3不成立； x＞1时，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5． 综上所述x≤﹣1.5或x≥1.5． 21. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.                     参考答案： 22. 设函数，其中a为常数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若为函数的两个零点，且. ①求实数a的取值范围； ②比较与的大小关系，并说明理由. 参考答案： （1）；（2）①，②见解析 【分析】 （1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；（2）①求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点的个数确定 的范围即可；②求出，得到，设，则，根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）时，，， 故，故切线方程是. （2）①，当时，恒成立， 即单调递减，不可能有个零点， 故不合题意； 当时，令，解得：，列表如下： 0 递减 递增   故， ∵有2个零点，∴，解得：， 故，且， 故存在，使得，， 设，则， ，故在递增， 故， ∵，故存在，使得， 综上，； ②∵，故， 即，， 设，则， 则，故递增，， ∵，∴， 即，故． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，属于难题．