2022年辽宁省大连市瓦房店第十八高级中学高三数学文模拟试题含解析

2022年辽宁省大连市瓦房店第十八高级中学高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 （    ） A．               B。                 C。                  D。 参考答案： D 略 2. 下列函数最小值为4的是                    (　　)   A．                    B.   C.        D. 参考答案： C 3. 的值为 A．    B．    C．    D． 参考答案： C 略 4. 定义在R上的函数，当时，不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. [1,+∞) B. [1,2] C. (1,2) D. (1,+∞) 参考答案： D 分析：由题意结合不等式的性质构造函数，结合函数的单调性将原问题转化为恒成立的问题，然后整理计算即可求得最终结果. 详解：考查函数：， 则：， 据此可得函数单调递增， ，则不等式即： ， 则：， 不等式即， 结合函数的单调性可得：恒成立， 当时，， 结合恒成立的条件可得实数的取值范围是. 本题选择D选项. 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 5. 命题：，命题：，则下列命题为真命题的是（     ） A.        B.          C.        D. 参考答案： 【知识点】命题及其关系A2 【答案解析】D  命题：为假命题，命题：假命题，所以为真命题,故选D。 【思路点拨】根据命题间的关系判断真假。 6. 能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（    ） （A）（B）（C）（D） 参考答案： D 7. 点, 且, 则直线的方程为 （   ）   A. 或 B. 或 C. 或         D. 或 参考答案： B 略 8. 若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（   ） A． B． C． D． 参考答案： D 略 9. 已知集合A={x∈Z | -1≤x≤2},集合B={y | y=} ,则A∩B=(   ) A.{-1,0,1}     B.{0,1,2}     C.{-1,0,1,2}      D. 参考答案： A 10. 如下图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为         参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最上值为__________. 参考答案： 【知识点】指数函数 基本不等式B6 E6 因为点A坐标为(1,2)，则有m+2n=1，由mn＞0知m＞0,n＞0，所以. 【思路点拨】可利用1的代换，把所求的式子转化成基本不等式特征，利用基本不等式求最值. 12. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是        . 参考答案： 解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。 解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填 或是。 解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得   13. 在锐角△ABC中，已知AB=2，BC=3，其面积S△ABC=3，则AC=　 　． 参考答案： 3 【考点】正弦定理． 【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，进而利用余弦定理可求AC的值． 【解答】解：∵AB=2，BC=3，面积S△ABC=AB?BC?sinB=2×3×sinB=3， ∴解得：sinB=， ∵由题意，B为锐角，可得：cosB==， ∴由余弦定理可得：AC===3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 14. 已知随机变量服从正态分布. 若，则等于               ． 参考答案： 试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以，因为，所以． 考点：正态分布． 15. 在平面直角坐标系中，若不等式组为常数)，所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为           ． 参考答案： 3 16. 随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是                  参考答案： 17. 执行如图所示的程序框图，则输出的k值是______________． 参考答案： 3 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 选修4﹣5《不等式选讲》． 已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），使+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值三角不等式；基本不等式． 【专题】分类讨论；不等式的解法及应用． 【分析】利用基本不等式求得+的最小值等于9，由题意可得|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，分x≤﹣1时，﹣1＜x＜时，x≥时三种情况分别求出不等式的解集，再取并集，即得结果． 【解答】解：∵a+b=1，且 a＞0，b＞0，∴ +=（a+b）（+ ）=5++≥5+2=9， 故+ 的最小值等于9． 要使+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，所以，|2x﹣1|﹣|x+1|≤9． 当 x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1．  当﹣1＜x＜时，﹣3x≤9，∴﹣1＜x＜． 当x≥时，x﹣2≤9，∴≤x≤11． 综上，﹣7≤x≤11． 【点评】本题考查基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题． 19. （本小题12分）设的内角所对边的长分别为，且有 (1).求角的大小 （2）.若为的中点,求的长 参考答案： （1）  (2) 略 20. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），其中F1、F2为左右焦点，O为坐标原点，直线l与椭圆交于P（x1、y1），Q（x2，y2）两个不同点，当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为，又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为﹣1 （1）求椭圆C的方程； （2）以OP、OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积|ON|?|PQ|的最大值． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由题意可设直线l的方程为y=x﹣c，则有，得c=1．再由椭圆上的点到焦点F2的最近距离为a﹣c=，得a=．由此求得椭圆C的方程； （2）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，可得x1=x2，y1=﹣y2，再由平行四边形OQNP面积为，可得|ON|?|PQ|=； 当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，和椭圆方程联立，可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0．由△＞0，得3k2+2＞m2，再由一元二次方程的根与系数的关系得，由弦长公式求得|PQ|，由点到直线的距离公式求得O到l的距离为d，代入△POQ的面积可得3k2+2=2m2，满足△＞0． 设M是ON与PQ的交点，则，，进一步得到 ，当且仅当，即m=时等号成立．由此可得|OM|?|PQ|的最大值为，|ON|?|PQ|=2|OM|?|PQ|的最大值为5． 【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角为，设F2（C，0），则直线l的方程为y=x﹣c， 则，得c=1． 由椭圆的几何性质可得椭圆上的点到焦点F2的最近距离为a﹣c=，得a=． ∴椭圆C的方程为； （2）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，则x1=x2，y1=﹣y2， 由P（x1，y1）在椭圆上，则，而，则． 知|ON|?|PQ|=； 当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，代入可得， 2x2+3（kx+m）2=6，即（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0． △＞0，即3k2+2＞m2，， |PQ|==． 设O到l的距离为d， 则d=，． 化为9k4+12k2+4﹣12m2k2﹣8m2+4m4=0． 得到（3k2+2﹣2m2）2=0，则3k2+2=2m2，满足△＞0． 由前知，， 设M是ON与PQ的交点，则 ， ， ，当且仅当，即m=时等号成立． 综上可知，|OM|?|PQ|的最大值为，|ON|?|PQ|=2|OM|?|PQ|的最大值为5． 【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口，考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常联立直线与圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求解，该题运算量大，要求学生具有较强的运算能力，属难题． 21. 在正四棱柱，已知底面的边长为2，的长度是4，点是的中点，求异面直线和所成角的大小。 参考答案： 解：   为异面直线和所成角 或其补角。                      …………………2分 又, ,                                  …………………4分     …………………7分      异面直线和所成角为。      …………………8分   略 22. 如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α． （1）求的值； （2）若四边形OAQP是平行四边形， （i）当P在单位圆上运动时，求点O的轨迹方程； （ii）设∠POA=θ（0≤θ≤2π），点Q（m，n），且f（θ）=m+n．求关于θ的函数f（θ）的解析式，并求其单调增区间． 参考答案： 【考点】轨迹方程；三角函数的化简求值． 【分析】（1）由三角函数定义得tanα=﹣2，再弦化切代入计算，即可求求的值； （2）（i）设PA中点为H，P（x1，y1），Q（x，y），则，，由此可求点O的轨迹方程； （ii）确定，即可求其单调增区间． 【解答】解：（1）由三角函数定义得tanα=﹣2，所以原式=． （2）∵四边形OAQP是平行四边形，∴PA与OQ互相平分， （i）设PA中点为H，P（x1，y1），Q（x，y），则，， 又，所以，代入上式得点Q的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1． （ii）依题意得， 又由（i）知，∴， ∴ ∵， ∴或， ∴f（θ）的增区间为和．