2022-2023学年山东省青岛市青島育才中學高一数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年山东省青岛市青島育才中學高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为(    ) A. 20，22.5 B. 22.5，25 C. 22.5，22.75 D. 22.75，22.75 参考答案： C 【分析】 根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可． 【详解】：根据频率分布直方图，得平均数为5（12.5×0.02+17.5×0.04+22.5×0.08+27.5×0.03+32.5×0.03）＝22.75， ∵0.02×5+0.04×5＝0.3＜0.5， 0.3+0.08×5＝0.7＞0.5； ∴中位数应在20～25内， 设中位数为x，则 0.3+（x﹣20）×0.08＝0.5， 解得x＝22.5； ∴这批产品的中位数是22.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题，是基础题目． 2. 设实数满足约束条件，则的最大值为（   ） （A）10       （B）8      （C）3       （D）2 参考答案： B 3. 已知集合，集合满足，则可能的集合共有（ ） A．4个 B．7个 C．8个 D．9个 参考答案： C 4. 已知函数若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a的取值范围. 【详解】令g(x)=0得f(x)=a, 函数f(x)的图像如图所示， 当直线y=a在x轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a有四个零点， 所以0＜a＜1. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 5. 若锐角满足，则的值为（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 化简得到，故，得到答案. 【详解】，故. 故，故. 锐角，，故. 故选：. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6. 函数 若是的最小值，则的范围        （     ） A.[－2,2]     B. [－3, －2]       C. (－∞, －2]∪[2,+ ∞)    D. (－∞, －1] 参考答案： C 7. 存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（　　） A．f（|x|）=x B．f（|x|）=x2+2x C．f（|x+1|）=x D．f（|x+1|）=x2+2x 参考答案： D 【考点】函数的对应法则；函数的概念及其构成要素． 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】在A、B中，分别取x=±1，由函数性质能排除选项A和B；令|x+1|=t，t≥0，则x2+2x=t2﹣1，求出f（x）=x2﹣1，能排除选项C． 【解答】解：在A中，取x=1，则f（1）=1，取x=﹣1，则f（1）=﹣1，不成立； 在B中，令|x|=t，t≥0，x=±t，取x=1，则f（1）=3，取x=﹣1，则f（1）=﹣1，不成立； 在C中，令|x+1|=t，t≥0，则x2+2x=t2﹣1， ∴f（t）=t2﹣1，即f（x）=x2﹣1，故C不成立，D成立． 故选：D． 【点评】本题考查抽象函数的性质，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 8. 已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论： ①f(x)的最小正周期为π； ②f(x)的最大值为2； ③； ④为奇函数． 其中正确结论的个数是(　 　) A．1                B．2              C．3               D．4 参考答案： D 由图象得，函数的最小正周期为，解得， 则，即， 又由，即， 所以，解得，即， 又由，即，所以，即，则函数的最大值为2，所以①②上正确的； 又由，所以③上正确的； 又由为奇函数，所以④是正确的， 所以正确结论的个数为4个，故选D.   9. 已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则集合A∩（?UB）=（　　） A．{x|x＜0，或x＞2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0≤x≤1} 参考答案： D 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】分别求出集合A、B，求出B的补集，从而求出其和A的交集即可． 【解答】解：A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}， B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}， ?UB={x|x≤1}， A∩（?UB）={x|0≤x≤1}， 故选：D． 　 10. 函数的定义域为（　　） （A）            （B） （C）      （D） 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设集合，都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的，，都有（表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是________． 参考答案： 11 【分析】 含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，由此能求出满足条件的两个元素的集合的个数． 【详解】含2个元素的子集有15个， 但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个； {1，3}、{2，6}只能取一个； {2，3}、{4，6}只能取一个， 故满足条件的两个元素的集合有11个． 故答案为：11． 【点睛】本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答．与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 12. 已知圆 交于A、B两点，则AB所在的直线方程是__________________。 参考答案： 2x+y=0 13. 已知，，其中，设与的夹角为：    ① ； ②若，则的最小值为； ③若，且（），则； ④若，记，则将的图象保持纵坐标不变，横坐标向左平移单位后得到的函数是偶函数； ⑤已知，，在以为圆心的圆弧上运动，且满足，（），则；上述命题正确的有             。 参考答案： ①③⑤ 略 14. 已知函数f（x）=log3x，则=　______． 参考答案： 15. 关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+1=0在区间[0，2]上恰有唯一根，则实数m的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣]∪{﹣1} 【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】当△=（m﹣1）2﹣4=0时，易知m=﹣1时，方程成立；当△＞0时，（0+0+1）（4+2（m﹣1）+1）≤0，从而解得． 【解答】解：当△=（m﹣1）2﹣4=0，即m=﹣1或m=3时， 易知m=﹣1时，方程的根为1，成立； 当△＞0，则 （0+0+1）（4+2（m﹣1）+1）≤0， 解得，m≤﹣， 故答案为：（﹣∞，﹣]∪{﹣1}． 【点评】本题考查了方程的根与函数的关系应用． 16. 已知，则=　　． 参考答案： 【考点】运用诱导公式化简求值． 【专题】计算题；规律型；函数思想；三角函数的求值． 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可． 【解答】解：，则=． 故答案为：； 【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力． 17. 从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=　  　．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为　  　． 参考答案： 0.03，3． 【考点】频率分布直方图． 【专题】概率与统计． 【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解． 【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1， ∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1， 解得a=0.03． 由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人． 其中身高在[140，150]内的学生人数为10人， 所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人． 故答案为：0.03，3． 【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，函数． （I）求的对称轴方程； （II）若对任意实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： （I）；（II） 【分析】 （I）利用平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用可得对称轴方程；（II）恒成立，等价于，利用，求得，可得，从而可得结果. 【详解】（I） ， 令，解得． ∴的对称轴方程为． （II）∵，∴， 又∵在上是增函数，∴， 又， ∴在时的最大值是， ∵恒成立，∴，即， ∴实数的取值范围是． 【点睛】以平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数的图象与性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 19. 求圆心为C（2，﹣1）且截直线y=x﹣1所得弦长为的圆的方程． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】求出圆心到直线y=x﹣1的距离，利用弦长为，求出半径，即可求出圆的方程． 【解答】解：设圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=r2．…（5分） 由题设圆心到直线y=x﹣1的距离…（10分） 又直线y=x﹣1被圆截得的弦长为2，…（15分） 故所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4…（18分） 【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，正确求出圆的半径是关键． 20. （本小题4分）、已知是角终边上的一点，且，求，的值． 参考答案： 解：，，        ，，． 略 21. 已知：函数为奇函数。 （Ⅰ）求的值。 （Ⅱ）求函数的值域。 （Ⅲ）解不等式。 参考答案： 解：（Ⅰ）是奇函数且在0处有定义故          （4分） （Ⅱ）