广西壮族自治区崇左市驮卢中学高一数学理月考试题含解析

广西壮族自治区崇左市驮卢中学高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等差数列{an}中，，则(   ). A. 110 B. 120 C. 130 D. 140 参考答案： B 【分析】 直接运用等差数列的下标关系即可求出的值. 【详解】因为数列是等差数列，所以， 因此，故本题选B. 【点睛】本题考查了等差数列下标性质，考查了数学运算能力. 2. 下列各组数可能是一个三角形的边长的是（　　） 　 A． 1，2，4 B． 4，5，9 C． 4，6，8 D． 5，5，11 参考答案： C 略 3. （5分）如果偶函数f（x）在上是增函数且最小值是2，那么f（x）在上是（） A． 减函数且最小值是2 B． .减函数且最大值是2 C． 增函数且最小值是2 D． 增函数且最大值是2 参考答案： A 考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 计算题；综合题；转化思想． 分析： 由偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反及偶函数定义可选出正确答案． 解答： 因为偶函数f（x）在区间上是增函数， 所以f（x）在区间上也是减函数， 且偶函数f（x）在区间上有f（3）min=2， 则f（x）在区间上有f（﹣3）min=f（3）=2， 故选A． 点评： 本题考查偶函数的定义及在关于y轴对称的区间上单调性的关系．属中档题． 4. 设函数为偶函数，且当时，，又函数，则函数在上的零点的个数为(     )个。  A.             B.                 C.                 D. 参考答案： C 5. 已知向量，，则向量的坐标为 (     )             A．　　   B．      C．         D． 参考答案： B 略 6. cos570°=（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 直接利用诱导公式化简得解. 【详解】 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用诱导公式化简及特殊角的三角函数值，属于基础题。 7. 凸边形各内角成等差数列，公差10°，最小内角为100°，则（  ） A．5或6             B．9                 C．8                 D．8或9 参考答案： C 略 8. 下列函数中是奇函数的为 A．    B．      C．      D． 参考答案： D 9. 函数的图像为C，则下列说法正确的个数是（    ） ①图像C关于直线对称； ②图像C关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由函数的图像向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到图像C. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： C 【分析】 ①验证当能否取得最值.②验证是否为0，③当时，验证的范围是否为增区间的子集.④按照平移变换和伸缩变换进行验证. 【详解】①因为所以图象关于直线对称，正确. ②因为，所以图像关于点对称，正确. ③因为当时，，所以函数在区间内增函数，正确. ④由函数的图像向右平移个单位长度，得到，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，不正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质及图象变换，还考查了理解辨析问题的能力，属于中档题. 10. 已知，函数的图象只可能是（   ）     　　　　　 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列{an}满足a1＜2，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N *）且++…+=1，则a2015﹣4a1的最小值为　_________　． 参考答案： -1 12. 已知集合A={2，a-1}， B={a2-7，-1} ,且A∩B={2}，则实数a=      ． 参考答案： 13. 函数的图象恒过定点，则点坐标是       . 参考答案： 略 14. 幂函数的图象过点，则= _____． 参考答案： 略 15. 幂函数的定义域为                  . 参考答案： 16. 函数，则=　　． 参考答案： 1009﹣ 【考点】函数的值． 【分析】推导出f（x）+f（1﹣x）=1，从而=1007+f（）+f（1），由此能求出结果． 【解答】解：∵函数， ∴f（x）+f（1﹣x）====1， ∴=1007+f（）+f（1） =1007++=1007+=1009﹣． 故答案为：． 17. 给出下列五个结论： ①函数有一条对称轴是； ②函数的图象关于点(,0)对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④要得到的图象，只需将的图象左移个单位； ⑤若，则，其中； 其中正确的有          　.（填写正确结论前面的序号） 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 【本题满分16分】 有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a(m,k)（其中m,k＝1,2,3,···,n，n≥3），公差为dm，并且a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等差数列． （1）证明：dm＝p1d1＋p2d2（3≤m≤n，p1, p2是m的多项式），并求p1＋p2的值； （2）当d1＝1,d2＝3时，将数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为(cm)4（cm＞0），求数列{2cm·dm}的前n项和Sn； （3）对于（2）中的dn、Sn，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式(Sn－6)＞dn成立的所有N的值． 16.     参考答案： 解：（1）由题意知a(m,n)＝1＋(n－1)dm． ∴a(2,n)－a(1,n)＝[1＋(n－1)d2]－[1＋(n－1)d1]＝(n－1)(d2－d1)， 同理，a(3,n)－a(2,n)＝(n－1)(d3－d2)， a(4,n)－a(3,n)＝(n－1)(d4－d3)，…， a(n,n)－a(n－1,n)＝(n－1)(dn－dn－1)． 又∵a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等差数列， ∴a(2,n)－a(1,n)＝a(3,n)－a(2,n)＝···＝a(n,n)－a(n－1,n) 故d2－d1＝d3－d2＝···＝dn－dn－1，即{dn}是公差为d2－d1的等差数列. ∴dm＝d1＋(m－1) (d2－d1)＝(2－m)d1＋(m－1)d2 令p1＝2－m，p2＝m－1，则dm＝p1d1＋p2d2（3≤m≤n，p1,p2是m的多项式） 此时p1＋p2＝1. ························4￠ （2）当d1＝1,d2＝3时，dm＝2m－1 数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，… 按分组规律，第m组中有2m－1个奇数， ∴第1组到第m组共有1＋3＋5＋···＋(2m－1)＝m2个奇数. ∵前k个奇数的和为1＋3＋5＋···＋(2k－1)＝k2，∴前m2个奇数的和为m4. ∴(cm)4＝m4，∵cm＞0∴cm＝m，∴2cm·dm＝(2m－1)·2m ························6￠ ∴Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋···＋(2n－3)·2n?1＋(2n－1)·2n． 2Sn＝    1·22＋3·23＋···＋(2n－5)·2n?1＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n+1． 相减得：－Sn＝2＋2·22＋2·23＋···＋2·2n?1＋2·2n－(2n－1)·2n+1．            ＝2×(2＋22＋23＋···＋2n)－2－(2n－1)·2n+1．            ＝2×2(2n－1)－2－(2n－1)·2n+1＝(3－2n)·2n+1－6 ∴Sn＝(2n－3)·2n+1＋6； ························10￠ （3）由（2）得dn＝2n－1,Sn＝(2n－3)·2n+1＋6. 故不等式(Sn－6)＞dn等价于(2n－3)·2n+1＞50(2n－1). 即f (n)＝(2n－3)·2n+1－50(2n－1)＝(2n－3)·(2n+1－50)－100. 当n＝1,2,3,4,5时，都有f (n)＜0，即(2n－3)·2n+1＜50(2n－1) 而f (6)＝9×(27－50)－100＝9×(128－50)－100＝602＞0 ∵当n≥6时，f (n)单调递增，故有f (n)＞0. ∴当n≥6时，(2n－3)·2n+1＞50(2n－1)成立，即(Sn－6)＞dn成立. ∴满足条件的所有正整数N＝5,6,7,···,20． ························16￠ 19. 已知 ，  化简：． 参考答案： 解析： 当是奇数时，原式；       当是偶数时，原式 所以，． 20. 圆柱内有一个内接三棱柱，三棱柱的底面在圆柱的底面内，且底面是正三角形，已知圆柱的底面直径与母线长相等，如果圆柱的体积为求三棱柱的体积;求三棱柱的表面积. 参考答案：        21. 已知cos（+x）=，求的值． 参考答案： 【考点】GO：运用诱导公式化简求值． 【分析】由已知可得cosx﹣sinx的值，平方可得sinxcosx的值，化简原式，整体代入化简可得． 【解答】解：∵cos（+x）=，∴（cosx﹣sinx）=， ∴cosx﹣sinx=，平方可得1﹣2sinxcosx=， ∴sinxcosx=， ∴==2sinxcosx=． 22. 已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF : FD = 4 : 3；（1）求∠AED的余弦值。（2）若BD=10，求△ABC的面积。     参考答案：