江苏省宿迁市淮海中学高二数学理期末试卷含解析

江苏省宿迁市淮海中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（　　） A．（2，+∞） B．（2，6）∪（6，10） C．（2，10） D．（2，6） 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的形式可得，解可得m的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆， 则有， 解可得2＜m＜6； 故选：D． 2. (2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是(　　) A.  B.  C.  D. 参考答案： C 略 3. 已知是定义域为[－3,3]的奇函数, 当时, ，那么不等式的解集是 A. [0,2] B. C. D. 参考答案： B 【分析】 由题意可知利用f（x）在[－3,3]上单调递减，不等式等价于，解不等式组即可得出结论． 【详解】当时, ，可得f（x）在上为减函数， 又是奇函数,所以f(x)在[－3,3]上单调递减， ∴ 等价于 ∴解得． ∴故选B. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 4. .已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为(  ) A. B. C. D. 参考答案： D 因为，所以切线的斜率，而直线的斜率，由题设，即，应选答案D。 5. 7名身高互不相等的学生站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减，则不同的排法总数有（     ）种. A．20          B．35          C.36          D.120  参考答案： A 略 6. 双曲线=1的焦距为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】直接利用双曲线方程，求出c，即可得到双曲线的焦距． 【解答】解：双曲线=1，可知a2=10，b2=2，c2=12， ∴c=2，2c=4． 双曲线=1的焦距为：4． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查． 　 7. 已知为第二象限角，，则 （    ）                               A．          B.          C.          D. 参考答案： A 略 8. 已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有                                                    （   ） A．4条           B．3条            C．2条            D．1条 参考答案： B 略 9. 已知数列的前项和为，若点在函数的图像上，则的通项公式是（    ） A、       B、 C、        D、 参考答案： B 10. 椭圆的离心率为（   ） A、 B、 C、 D、 参考答案： A 因为椭圆，a=1,b=,c=,则椭圆的离心率为，选A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 各项为正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值是____ 参考答案： 12. 如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面为，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）． ①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形； ③当时，与的交点满足； ④当时，为五边形； ⑤当时，的面积为． 参考答案： ①②④ ①项，时，为， 而时，线段上同理，存在一点，与平行， 此时，为四边形，且是梯形，故命题①为真； ②项，，，是等腰梯形，故命题②为真； ③项 当时，如图所示，， ∵点是的中点，∴， ∴， ∴与的交点满足， 故命题③为假． ④项，如图所示，为五边形，故命题④为真； ⑤项，如图所示，为菱形，面积为， 故命题⑤为假． 综上所述，命题正确的是：①②④． 13. 已知则___________． 参考答案： 略 14. 命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是　　． 参考答案： 存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 【考点】命题的否定． 【专题】简易逻辑． 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0． 故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0． 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系． 15. .在平面直角坐标系中，曲线在处的切线方程是___________． 参考答案： 【分析】 根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果. 【详解】因为，所以，因此在x＝0处的切线斜率为， 因为x＝0时，所以切线方程是 【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本求解能力.属基础题. 16. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于 . 参考答案： 8 17. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：.记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则___ . 参考答案： 2059 【分析】 将数列排列成杨辉三角数阵，使得每行的项数与行的相等，并计算出每行的各项之和，然后确定数列第所处的行数与项的序数，然后利用规律将这些项全部相加可得答案。 【详解】将数列中的项从上到下，从左到右排成杨辉三角形数阵，如下所示： 使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为， 设位于第，则，所以，， 且第行最后一项在数列中的项数为， 所以，位于杨辉三角数阵的第行第个， 第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为，依此类推，第行各项的和为， 因此，          ，故答案为：。 【点睛】本题考查合情推理，考查二项式系数与杨辉三角，解决这类问题关键在于确定所找的项所在杨辉三角所处的位置，并利用规律来解题，考查推理论证能力与计算能力，属于难题。     三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB的中点． （Ⅰ）求证：AC⊥BC1； （Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1． （Ⅲ）设AB=2AA1，AC=BC，在线段A1B1上是否存在点M，使得BM⊥CB1？若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定． 【专题】证明题；图表型；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】（I）先证明CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，可证AC⊥平面BCC1B1，从而可证AC⊥BC1． （Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，可证DE∥AC1．即可判定AC1∥平面CDB1． （Ⅲ）可证AA1⊥CD，CD⊥AB，从而证明CD⊥平面AA1B1B，取线段A1B1的中点M，连接BM．可证CD⊥BM，BM⊥B1D，即可证明BM⊥平面B1CD，从而得证BM⊥CB1． 【解答】（本小题满分14分） 证明：（I）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为CC1⊥底面ABC，AC?底面ABC， 所以CC1⊥AC． 又AC⊥BC，BC∩CC1=C， 所以AC⊥平面BCC1B1． 而BC1?平面BCC1B1， 则AC⊥BC1．… （Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， 因为D是AB的中点，E是BC1的中点， 所以DE∥AC1． 因为DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1， 所以AC1∥平面CDB1．… （Ⅲ）在线段A1B1上存在点M，使得BM⊥CB1，且M为线段A1B1的中点． 证明如下：因为AA1⊥底面ABC，CD?底面ABC， 所以AA1⊥CD．                             由已知AC=BC，D为线段AB的中点， 所以CD⊥AB． 又AA1∩AB=A， 所以CD⊥平面AA1B1B． 取线段A1B1的中点M，连接BM． 因为BM?平面AA1B1B，所以CD⊥BM． 由已知AB=2AA1，由平面几何知识可得BM⊥B1D． 又CD∩B1D=D，所以BM⊥平面B1CD． 又B1C?平面B1CD， 所以BM⊥CB1．… 【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题． 19. （12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2． （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB； （Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）连结BD，推导出BE⊥AB，PA⊥BE，从而BE⊥平面PAB，由此能证明平面PBE⊥平面PAB． （Ⅱ）以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，过点E垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PE﹣D的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）连结BD， ∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°， E是CD的中点，PA⊥底面ABCD， ∴BE⊥AB，PA⊥BE， ∵AB∩PA=A，∴BE⊥平面PAB， ∵BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB． 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BE⊥CD，又PA⊥底面ABCD， 以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴， 过点E垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则E（0，0，0），B（，0，0），D（0，﹣，0），A（，﹣1，2）， =（0，1，2），=（，0，0），=（0，﹣，0），=（，﹣1，2）， 设平面BPE的法向量=（x，y，z）， 则，取y=2，得=（0，2，﹣1）， 设平面DPE的法向量=（a，b，c）， 则，取a=2，得=（2，0，﹣）， 设二面角B﹣PE﹣D的平面角为θ， cosθ===． ∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为． 【点评】本题考查面面垂直行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20. 已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay-2=0与圆有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a,1）在椭圆内部”，若命题“”是真命题，求实数a的取值范围. 参考答案： 解：由命题p得：-------------------2’     由命题q得：----------------4’ ∵∴p真q假-------------6’ 即，即所求a的取值范围为 ---------------10’ 略 21. 已知（，）展开式的前三项的二项式系数之和为1