广东省汕头市仙门城中学高二数学理月考试卷含解析

广东省汕头市仙门城中学高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设二次函数的值域为，则的最小值为(    ) A．          B．          C．            D．          参考答案： A 略 2. 已知不等式（）（）9对任意正实数恒成立，则正实数a的最小值为 A. 2             B.   4         C.  6            D.8 参考答案： B 略 3. 等差数列的前项和为，若则的值为 A．    B．50   C．55     D．110 参考答案： C 4. 如下图的流程图，若输出的结果，则判断框中应填(　　) A．   B．  C．    D． 参考答案： B 5. 若椭圆的弦被点（2，1）平分，则此弦所在的直线方程是（　　） A．x+y﹣3=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+13y﹣14=0 D．x+2y﹣8=0 参考答案： A 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】设直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），把两点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，然后求解直线方程． 【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，再设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由题意得， 两式相减，得（x12﹣x22）+2（y12﹣y22）=0， 即=﹣， ∵点M（2，1）是AB的中点， ∴kAB=﹣=﹣1， 则所求直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0； 故选：A． 6. 若函数，则（其中为自然对数的底数）（   ） A．          B．             C．         D. 参考答案： C 略 7. 若实数，满足，则关于的方程有实数根的概率是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： C 根的判别式， ∴， 在平面直角坐标系中，作出约束条件， ，所表示的平面区域如图所示， 阴影部分面积为：， 所求概率． 8. 已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩?UB=（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2} 参考答案： A 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合． 【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可． 【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0， 解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}， 由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}， ∵全集U=R， ∴?UB={x|x＜1}， 则A∩（?UB）={x|0＜x＜1}． 故选：A． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 9. 抛物线x2=4y的焦点坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1） 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标． 【解答】解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2， =1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为 （0，1 ）， 故选 C． 　 10. 若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用a，b表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=， 所以=． 所以． 所以双曲线的离心率=． 故选B． 【点评】解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是高考考查的重点． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在某次数学测验中，学号的四位同学的考试成绩，且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为________种. 参考答案： 15 【分析】 分两类，按的情况，共有种，按的情况，共有种，再用分类计数原理求解. 【详解】从所给的5个成绩中，任取4个，即可得到四位同学的考试成绩，按的情况，共有种， 从所给的5个成绩中，任取3个，即可得到四位同学的考试成绩，按的情况，共有种， 综上：满足，这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为15种. 故答案为：15 【点睛】本题主要考查组合问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，△ABC的面积为，则△ABC的最大角的正切值是______. 参考答案： 或－ 试题分析：由题意得，由余弦定理得：，因此B角最大， 考点：正余弦定理 【名师点睛】 1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解． 2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的． 13. 将参数方程化成普通方程是           . 参考答案： 略 14. 已知函数，若，则 参考答案： 15. 命题，则对复合命题的下述判断：①或为真；②或为假；③且为真；④且为假；⑤非为真；⑥非为假．其中判断正确的序号是      . 参考答案： 略 16. 若三角形内切圆的半径为，三边长为,,，则三角形的面积等于根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分是,,，则四面体的体积______________. 参考答案： 略 17. 已知向量a＝(cos θ，sin θ，1)，b＝(，－1,2)，则|2a－b|的最大值为________． 参考答案： 4 【知识点】两角和与差的三角函数空间向量基本定理与坐标运算 因为 所以，|2a－b|的最大值为4 故答案为：4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）经过点（1，e），其中e是椭圆C1的离心率，以原点O为圆心，以椭圆C1的长轴长为直径的圆C2与直线x﹣y+2=0相切． （Ⅰ）求椭圆C1和圆C2的方程； （Ⅱ）过椭圆C1的右焦点F的直线l1与椭圆C1交于点A，B，过F且与直线l1垂直的直线l2与圆C2交于点C，D，以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记为S，求S的取值范围． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点（1，e），以原点O为圆心，以椭圆C1的长轴长为直径的圆C2与直线x﹣y+2=0相切，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程和圆C2的方程． （Ⅱ）若直线AB的斜率不存在，由l1⊥l2，得S=2；若直线AB的斜率为0，由l1⊥l2，得|AB|=2，|CD|=2，S=；若直线AB的斜率存在且不为0，设l1的方程为y=k（x﹣1），联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、根的差别式、弦长公式、函数的单调性，结合已知条件能求出S的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0）经过点（1，e）， 以原点O为圆心，以椭圆C1的长轴长为直径的圆C2与直线x﹣y+2=0相切， ∴由已知得，解得a=，b=1． 所以椭圆C1的方程为，圆C2的方程为x2+y2=2． （Ⅱ）若直线AB的斜率不存在，由l1⊥l2，得|AB|==，|CD|=2， 此时S=． 若直线AB的斜率为0，由l1⊥l2，得|AB|=2，|CD|=2=2， 此时S=． 若直线AB的斜率存在且不为0，设l1的方程为y=k（x﹣1）． 设A（x1，x2），B（x2，y2），则， 消y，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0， 所以，， △=16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8k2+8＞0． |AB|== ==． 又l2的方程为y=﹣（x﹣1），即x+ky﹣1=0， 得|CD|=2=2． 所以S=|AB|×|CD|==2． 因为k2＞0，关于k2是单调递减函数， ∈（2，2）． 综上得，S的取值范围是[2，2]． 19. 已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． （1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值． 参考答案： （1），（2） 【分析】 （1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，将曲线的极坐标方程先利用两角和的正弦公式展开，再等式两边同时乘以，再代入代入化简可得出曲线的直角坐标方程； （2）解法一：将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，由弦长公式得可求出； 解法二：计算圆心到直线的距离，并求出圆的半径，利用勾股定理以及垂径定理得出可计算出； 解法三：将直线的方程与曲线的直角坐标方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，列出韦达定理，利用弦长公式可计算出（其中为直线的斜率）。 【详解】（1）由直线的参数方程，消去参数得， 即直线普通方程为.                          对于曲线,由,即, ,                             ， 曲线的直角坐标方程为.        （2）解法一：将代入的直角坐标方程， 整理得,                           ，                           .              （2）解法二：曲线的标准方程为， 曲线是圆心为，半径的圆.                                      设圆心到直线:的距离为,则.                                则.                                               (2) 解法三：联立,消去整理得,                                     解得,.                                    将,分别代入得, 所以,直线与圆的两个交点是. 所以,. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，考查直线参数方程中的几何意义，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，一般而言，可以采用以下三种解法： （1）几何法：求出圆的半径，以及圆心到直线的距离，则直线截圆所得弦长为； （2）代数法： ①将直线的参数方程（为参数，为倾斜角）与圆的普通方程联立，得到关于的二次方程，结合韦达定理与弦长公式计算； ②将直线的普通方程与圆的普通方程联立，消去或，得到关于另外一个元的二次方程，利用弦长公式或 来计算（其中为直线的斜率）。 20. 设函数. (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)关于的方程f(x)=a在区间上有三个根,求a的取值范围. 参考答案： 解:(1) ,由得 　　　        (2分) x 2