江苏省南京市区东庐中学高一数学理联考试题含解析

江苏省南京市区东庐中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设方程和方程的根分别为和，函数，则（    ） A.             B.                              C.         D.                          参考答案： A 略 2. 若上述函数是幂函数的个数是（   ） A．个   B．个   C．个   D．个 参考答案：  C   解析：是幂函数 3. 对于平面和两条不同的直线，下列命题中真命题是 A．若与所成的角相等，则∥     B．若∥，∥，则∥ C．若，∥,则∥            D．若⊥，，则∥ 参考答案： C 4. 已知函数，则的值为（    ） A．             B．              C．            D． 参考答案： A 略 5. 已知函数满足对任意的都成立。若，则与的大小关系是       （    ）     A．  B．       C．       D．不确定   参考答案： B 6. 若函数y=ax（x∈[﹣1，1]）的最大值与最小值之和为3，则=（　　） A．9 B．7 C．6          D．5 参考答案： B 7. （5分）设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经观察，y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，下面的函数中最能近似地表示表中数据对应关系的函数是（） A． ，t∈ B． ，t∈ C． ，t∈ D． ，t∈ 参考答案： A 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 计算题；应用题；压轴题． 分析： 通过排除法进行求解，由y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，故可以把已知数据代入y=K+Asin（ωx+φ）中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案． 解答： 排除法： ∵y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象， ∴由T=12可排除C、D， 将（3，15）代入 排除B． 故选A 点评： 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属于基础题． 8. 如果θ角的终边经过点（﹣，），那么sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）=（　　） A．﹣ B． C． D．﹣ 参考答案： B 【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义． 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求出cosθ 和tanθ的值，再利用诱导公式求出所给式子的值． 【解答】解：由θ角的终边经过点P（﹣，），可得x=﹣，y=，r=|OP|=1， ∴cosθ==﹣，tanθ==﹣，∴sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）=cosθ﹣cosθ﹣tanθ=﹣tanθ=， 故选：B． 9. 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（    ）盏灯. A. 14 B. 12 C. 8 D. 10 参考答案： B 【分析】 设第一层有盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以为首项，以为公比的等比数列，求得第一层的盏数，由此即可求解，得到答案. 【详解】设第一层有盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以为首项，以为公比的等比数列， 所以七层宝塔的灯的盏数的总数为，解得， 所以从上至下的第三层的灯的盏数为盏，故选B. 【点睛】本题主要考查了等比数的应用，其中解答中认真审题，得到第一层至第七层的等的盏数构成一个以为首项，以为公比的等比数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10. 设由正数组成的等比数列，公比q=2，且，则等于 A．          B．        C．         D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 港口A北偏东方向的C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31nmile,该轮船从B处沿正西方向航行20nmile后到D处，测得CD为21nmile,此时轮船离港口还有________nmile. 参考答案： 15      12. 若M(3，－2)，N(－5，－1)且，则P点的坐标为__________. 参考答案： 分析：设点，表示出，代入，即可求出点坐标. 详解：设点， 则， 又， ， ，故答案为. 13. 已知幂函数f（x）=xa的图象经过点，则f（9）=　　． 参考答案： 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】将点的坐标代入解析式，求出a，再令x=9，求f（9）即可． 【解答】解：由题意f（3）=， 所以a=﹣，所以f（x）=， 所以f（9）= 故答案为：． 【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查． 14. 有下列几个命题： ①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数； ②函数y=在（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）上是减函数； ③函数y=的单调区间是[﹣2，+∞）； ④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）． 其中正确命题的序号是           ． 参考答案： ④ 【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质． 【分析】①根据二次函数的性质，可知函数y=2x2+x+1在[﹣4，+∝）单调增． ②y=在（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）上均为减函数．但在并集上并不一定是减函数． ③要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4x﹣x2≥0， ④通过函数的单调性，a+b＞0，可得出答案． 【解答】解：①∵函数y=2x2+x+1，对称轴为x=﹣，开口向上 ∴函数在[﹣4，+∝）单调增 ∴在（0，+∞）上是增函数， ∴①错； ②虽然（﹣∞，﹣1）、（﹣1，+∞）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义， ∴②错； ③5+4x﹣x2≥0， 解得﹣1≤x≤5，由于[﹣2，+∞）不是上述区间的子区间， ∴③错； ④∵f（x）在R上是增函数，且a＞﹣b， ∴b＞﹣a，f（a）＞f（﹣b），f（b）＞f（﹣a），f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）， 因此④是正确的． 故答案：④ 【点评】本题主要考查了函数单调性的判断．属基础题． 15. 给出下列四个命题： ①函数的一条对称轴是； ②函数的图象关于点(,0)对称； ③函数的最小值为－1； ④若 ，则，其中； 以上四个命题中正确的有_____________（填写正确命题前面的序号）． 参考答案：    ①②③ 16. 已知函数f（x）=2tan（ωx+?）(ω＞0，| ? |＜)的最小正周期为，且f()=﹣2，则ω=　　，?=　  　． 参考答案： 2，   【考点】正切函数的图象． 【分析】根据函数的最小正周期，求出ω的值，再求出φ的值． 【解答】解：函数f（x）=2tan（ωx+?）的最小正周期为， ∴=， 解得ω=2； 又， 即2tan（2×+φ）=﹣2， ∴2tanφ=﹣2， 即tanφ=﹣1； 又|φ|＜， ∴φ=﹣． 故答案为：2，． 　 17. 函数的单调递增区间为　    　． 参考答案： 【分析】令 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间． 【解答】解：令 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为 故答案为  ． 【点评】本题主要考查复合三角函数的单调性，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （13分）已知函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在区间上的最大值是最小值的8倍． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）当a＞1时，解不等式loga（2a+2x）＜loga（x2+1）． 参考答案： 考点： 指数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （Ⅰ）分类讨论当a＞1时，当0＜a＜1时，求出最大值，最小值，即可求解答案． （Ⅱ）转化log2（4+2x）＜log2（x2+1）得出得出不等式组， 求解即可 解答： f（x）max=a2，f（x）min=a﹣1，则=a2=8，解得a=2； 当0＜a＜1时，f（x）=max=a﹣1，f（x）min=a2，则=a﹣3=8，解得a=； 故a=2或a= （Ⅱ） 当a＞1时，由前知a=2，不等式loga（2a+2x）＜loga（x2+1） 即得解集为（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）． 点评： 本题考察了指数函数的性质，分类讨论的思想，属于中档题，关键是分类得出方程，不等式组． 19. 已知函数直线是图像的任意两条对称轴，且的最小值为. （1）求函数的单调增区间； （2）若求的值； （3）若关于的方程在有实数解，求实数的取值.   参考答案： （3）原方程可化为，即，在有解，令则在有解， 设所以 又所以由图像知. ……………………………………13分   略 20. 已知四棱锥P﹣ABCD的三视图和直观图如图： （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）若E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论． 参考答案： 【考点】LX：直线与平面垂直的性质；L!：由三视图求面积、体积． 【分析】（1）由三视图可知，四棱锥中，PC⊥底面ABCD底面ABCD是边长为1的正方形，PC=2，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积． （2）连接AC，推导出BD⊥平面PAC，由此能求出当E在PC上运动时，BD⊥AE恒成立． 【解答】解：（1）由三视图可知，四棱锥中，PC⊥底面ABCD， 底面ABCD是边长为1的正方形，PC=2， ∴四棱锥P﹣ABCD的体积VP﹣ABCD=?PC?S底=×2×1=． （2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE成立． 证明如下：连接AC，∵BD⊥AC，BD⊥PC，且AC∩PC=C， ∴BD⊥平面PAC， 当E在PC上运动时，AE?面PAC， ∴BD⊥AE恒成立． 【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查线线垂直的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 21. 已知数列中，，. （Ⅰ）求证：数列为等差数列； （Ⅱ）求数列的通项公式.（12分） 参考答案： 解：（1）证：由 有…………………………………………………………3分 ∴ 即是公差为1的等差数列…………………………………………………………6分 （2）∵ ∴ ∴………………………………8分 ∴ ∴………………………………………………………………………………12分. 略 22. 对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（