北京六道河中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试卷含解析

北京六道河中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知角的终边经过点P，则的值是 （      ） A、         B、         C、1         D、 参考答案： B 略 2. 已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的根，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，2） C．（1，2） D．[1，2） 参考答案： C 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】原问题等价于于函数f（x）与函数y=k的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案． 【解答】解：关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根， 等价于函数f（x）与函数y=k的图象有两个不同的交点， 作出函数的图象如下： 由图可知实数k的取值范围是（1，2） 故选：C． 【点评】本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题． 3. 函数f（x）=sin（2x﹣）在区间上的最小值是（　　） A．﹣1 B．﹣ C． D．0 参考答案： B 【考点】HW：三角函数的最值． 【分析】由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值． 【解答】解：由题意x∈，得2x∈[,]， ∴∈[，1] ∴函数在区间的最小值为． 故选B． 4. 对于集合N和集合，    若满足，则集合中的运算“”可以是 A．加法              B．减法           C．乘法            D．除法 参考答案： C 5. 一元二次不等式的解集是，则的值是（     ）。 A.       B.      C.       D. 参考答案： D  解析：方程的两个根为和， 6. 平面向量与的夹角为，，则等于（　　） A．2 B．2 C．4 D． 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算；向量的模． 【分析】利用已知条件，通过平方关系，求解即可． 【解答】解：平面向量与的夹角为，， 则===2． 故选：A． 7. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1与平面AB1所成角的余弦值是（  ） A．         B．       C.         D． 参考答案： D 连接AB1，设正方体棱长为1. ∵B1C1⊥平面AB1，∴∠C1AB1为AC1与平面AB1所成角. ∴ 故选：D   8. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是 （      ） A．0      B．0 或1       C．1       D．不能确定 参考答案： B 9. 已知集合，则=（    ）     A．（1，3）          B．[1，3]            C．{1，3}          D．{1，2，3} 参考答案： D 10. 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。设 (x0),则的最大值为(   ) A. 4            B. 5        C. 6       D. 7 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.   正方体AC1棱长是1，点E、F是线段DD1，BC1上的动点，则三棱锥E一AA1F体积为___. 参考答案： 12. 函数的定义域                      参考答案： 略 13. 已知向量=（1，），=（3，m），若向量的夹角为，则实数m=　   　． 参考答案： 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】利用两个向量的数量积的定义以及两个向量的数量积公式，求得实数m的值． 【解答】解：∵向量=（1，），=（3，m），若向量的夹角为， 则=||?||?cos，即 3+m=2??，求得m=， 故答案为：． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义以及两个向量的数量积公式，属于基础题． 14. 求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为　　　　　 参考答案： 或 15. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，则＝________． 参考答案： 略 16. 已知，则          ． 参考答案： 由可得：cos， ∴ cos   17. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则?=　        . 参考答案： 2 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）?（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果． 【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0， 故=（）?（）=（）?（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2， 故答案为 2． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知两点O（0，0），A（6，0），圆C以线段OA为直径． （1）求圆C的方程； （2）若直线l1的方程为x﹣2y+4=0，直线l2平行于l1，且被圆C截得的弦MN的长是4，求直线l2的方程． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）由已知圆C以线段OA为直径，则OA的中点即为圆心，OA即为直径长．从而可求出圆C的方程． （2）由已知可设直线l2的方程为：x﹣2y+m=0．从而圆心C到直线l2的距离．根据则即可求出m的值，从而求出直线l2的方程． 【解答】解：（1）∵点O（0，0），A（6，0）， ∴OA的中点坐标为（3，0）． ∴圆心C的坐标为（3，0）． 半径r=|OC|=3． ∴圆C的方程为 （x﹣3）2+y2=9． （2）∵直线l2平行于l1， ∴可设直线l2的方程为：x﹣2y+m=0． 则圆心C到直线l2的距离 ． 则． ∴． 解得，m=2或m=﹣8． ∴直线l2的方程为 x﹣2y+2=0或x﹣2y﹣8=0． 【点评】本题考查圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式等知识的运用．属于中档题． 19. 已知函数（x > 0） (I)求的单调减区间并证明； (II)是否存在正实数m，n（m < n），使函数的定义域为［m，n］时值域 为［，］？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由． (Ⅲ)若存在两个不相等的实数和，且，，使得 和同时成立，求实数的取值范围．   参考答案： (I)解：的单调减区间为 1分 任取且 则 2分 ∴ 故在上为减函数 3分 (II)①若，则 ∴ 两式相减，得不可能成立 5分 ②若，，则的最小值为0，不合题意 6分 ③若，则 ∴ ∴  ∴ m，n为的不等实根 .∴ ， 综上，存在，符合题意 9分     (Ⅲ)若存在两个不相等的实数和，且，，使得，和 同时成立，则当时，有两个不相等的实数根，即在上有两个不相等的实数根 10分 令，则有： ，故实数的取值范围为 14分     略 20. 近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中． （I）求a,b的值； （Ⅱ）求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数； （Ⅲ）若按照分层抽样从[50,60),[60,70)中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在[50,60)的概率． 参考答案： (Ⅰ) (Ⅱ) 平均数74.9,众数75.14,中位数75；(Ш) 【分析】 （I）根据频率之和为列方程，结合求出的值.（II）利用各组中点值乘以频率然后相加，求得平均数.利用中位数是面积之和为的地方，列式求得中位数.以频率分布直方图最高一组的中点作为中位数.（III）先计算出从,中分别抽取人和人，再利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】解：(I)依题意得,所以, 又,所以． (Ⅱ)平均数为 中位数为 众数为 (Ш)依题意,知分数在的市民抽取了2人,记为,分数在的市民抽取了6人,记为1,2,3,4,5,6, 所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为： , 共28种, 其中满足条件的为,共13种,设“至少有1人的分数在”的事件为,则 【点睛】本小题主要考查求解频率分布直方图上的未知数，考查利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数的方法，考查利用古典概型求概率.属于中档题. 21. (8分)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。   参考答案： 解： 作交BE于N，交CF于M．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    ，           ， ．．．．．．6分           在中，由余弦定理， ．．．．．8分          略 22. (本题满分10分) 已知集合。 （1）求，； （2）已知，求． 参考答案： （1） , . ................ .............. ...........2 . .................3 （2）=. ................... ................5