2022年黑龙江省哈尔滨市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案及部分解析)

2022年黑龙江省哈尔滨市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1. A.A. B. C. D. 2.设函数在x=0处连续，则a等于( )． A.A.0 B.1/2 C.1 D.2 3.  4. A.2/5 B.0 C.-2/5 D.1/2 5.设z=ln(x2+y)，则等于( )。 A. B. C. D. 6.（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.＋∞ 7. 8.  9. 10. 11.  12.  13.微分方程y'+y=0的通解为y= A.e-x+C B.-e-x+C C.Ce-x D.Cex 14. 设y=2x3，则dy=( )． A.2x2dx B.6x2dx C.3x2dx D.x2dx 15.微分方程y'=1的通解为 A.y=x B.y=Cx C.y=C-x D.y=C+x 16.方程z=x2+y2表示的曲面是（） A.椭球面 B.旋转抛物面 C.球面 D.圆锥面 17.（　　）。 A.3 B.2 C.1 D.0 18.设y=3-x，则y'=（）。 A.-3-xln3 B.3-xlnx C.-3-x-1 D.3-x-1 19. 20.  二、填空题(20题) 21. 22. 23. 24.函数f(x)=在[1，2]上符合拉格朗日中值定理的ξ=________。 25. 26. 27.设f(x)在x=1处连续，=2，则=________。 28. 29.微分方程y＝0的通解为 ． 30. 31.方程cosxsinydx+sinxcosydy=O的通解为______. 32.函数y=cosx在[0，2π]上满足罗尔定理，则ξ=______. 33.  34. 35.函数y=x3-2x+1在区间[1，2]上的最小值为______． 36.  37. 38. 39.若f'(x0)=1，f(x0)=0,则 40.  三、计算题(20题) 41. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 42. 43. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 44. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 45.  46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 47. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 48.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 49.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 50.  51.证明： 52. 53.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 54.  55. 56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 57. 求微分方程的通解． 58.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 59.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 60. 四、解答题(10题) 61. 62.  63.  64. 求∫xcosx2dx。 65. 66.求由曲线y=2-x2，y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S，以及此平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积． 67.  68.  69. 70. 五、高等数学(0题) 71. 六、解答题(0题) 72.  参考答案 1.B 本题考查的知识点为偏导数运算． 由于z＝tan(xy)，因此 可知应选B． 2.C 本题考查的知识点为函数连续性的概念． 由函数连续性的定义可知，若f(x)在x=0处连续，则有，由题设f(0)=a， 可知应有a=1，故应选C． 3.B 4.A 本题考查了定积分的性质的知识点 5.A 本题考查的知识点为偏导数的计算。 由于 故知应选A。 6.B 7.A 8.A解析： 9.D 10.B 11.A 12.C解析： 13.C 14.B 由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B． 15.D 16.B旋转抛物面的方程为z=x2+y2. 17.A 18.A y=3-x，则y'=3-x。ln3*(-x)'=-3-xln3。因此选A。 19.A 20.C解析： 21. 22.3x2 23. 24. 由拉格朗日中值定理有=f"(ξ)，解得ξ2=2，ξ=其中。 25. 26.k=1/2 27.由连续函数的充要条件知f(x)在x0处连续，则。 28. 29.y＝C． 本题考查的知识点为微分方程通解的概念． 微分方程为y＝0． dy＝0．y＝C． 30. 31.sinx·siny=C由cosxsinydx+sinxcosydy=0，知sinydsinx+sinxdsiny=0，即d(sinx·siny)=0，两边积分得sinx·siny=C，这就是方程的通解. 32.π 33. 34. 35.0 本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题． 通常求解的思路为： 先求出连续函数f(x)在(a，b)内的所有驻点x1,…，xk． 比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的x即为，(x)在[a，b]上的最大(小)值点． 由y=x3-2x+1，可得 Y'=3x2-2． 令y'=0得y的驻点为，所给驻点皆不在区间(1，2)内，且当x∈(1，2)时有 Y'=3x2-2＞0． 可知y=x3-2x+1在[1，2]上为单调增加函数，最小值点为x=1，最小值为f(1)=0． 注： 也可以比较f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即为f(x)在[1，2]上的最小值． 本题中常见的错误是，得到驻点和之后，不讨论它们是否在区间(1，2)内．而是错误地比较 从中确定f(x)在[1，2]上的最小值．则会得到错误结论． 36.4x3y 37. 38. 39.-1 40.2xy(x+y)+3 41.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 42. 43. 44. 函数的定义域为 注意 45. 46. 47. 48. 列表： 说明 49.由二重积分物理意义知 50. 由一阶线性微分方程通解公式有 51. 52. 53.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 54. 则 55. 56. 57. 58.由等价无穷小量的定义可知 59.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 60. 61. 62. 63. 解 64. 65. 66.如图10-2所示． 本题考查的知识点为利用定积分求平面图形的面积；利用定积分求旋转体体积． 需注意的是所给平面图形一部分位于x轴上方，而另一部分位于x轴下方．而位于x轴下方的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体包含于x轴上方的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体之中，因此只需求出x轴上方图形绕x轴旋转所成旋转体的体积，即为所求旋转体体积． 67. 68. 69. 70. 71.令令 72.