2021-2022学年辽宁省沈阳市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2021-2022学年辽宁省沈阳市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1. A.1 B.0 C.2 D.1/2 2.设z=ysinx，则等于( )． A.A.-cosx B.-ycosx C.cosx D.ycosx 3. 4.（）。 A.e-6 B.e-2 C.e3 D.e6 5. A.A.  B.  C.  D.  6.如图所示两楔形块A、B自重不计，二者接触面光滑，受大小相等、方向相反且沿同一直线的两个力的作用，则( )。 A.A平衡，B不平衡 B.A不平衡，B平衡 C.A、B均不平衡 D.A、B均平衡 7. 设y=2x3，则dy=( )． A.2x2dx B.6x2dx C.3x2dx D.x2dx 8.A.0 B.1 C.2 D.不存在 9.设函数f(x)在点x0。处连续，则下列结论正确的是（　　）． A.A. B. C. D. 10. 设x=1为y=x3-ax的极小值点，则a等于( )． A.3 B. C.1 D.1/3 11.（）。 A.2π B.π C.π/2 D.π/4 12.设y=5x，则y'= A.A.5xln5 B.5x/ln5 C.x5x-1 D.5xlnx 13.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)＞0，则f(x)在(0，1)内 A.A.单调减少 B.单调增加 C.为常量 D.不为常量，也不单调 14.曲线y＝1nx在点(e，1)处切线的斜率为（　　）． A.A.e2 B.e C.1 D.1/e 15. A.f(x)+C B.f'(x)+C C.f(x) D.f'(x) 16.  17.下列等式成立的是 A.A. B.B. C.C. D.D. 18.（　　）。 A. B. C. D. 19. 20. 设f(x)的一个原函数为x2，则f'(x)等于( )． A. B.x2 C.2x D.2 二、填空题(20题) 21.函数y=x3-2x+1在区间[1，2]上的最小值为______． 22. 23.设y=xe，则y'=_________. 24. 25.  26.级数的收敛半径为______． 27.  28. 29. 30.幂级数的收敛半径为________。 31. 32. 33.  34. 设z=x2+y2-xy，则dz=__________。 35. 36.设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=________。 37.  38.  39. 40. 三、计算题(20题) 41.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 42.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 43. 44. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 45. 46. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 47.证明： 48.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 49. 求微分方程的通解． 50.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 51.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 52. 53. 54.  55. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 56.  57.  58. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 59.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 60.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 四、解答题(10题) 61. 62. (本题满分8分) 63.设函数f(x)=x3-3x2-9x，求f(x)的极大值。 64.  65. 66.  67. 68. 69.  70. 设y=x2ex，求y'。 五、高等数学(0题) 71.y=ze-x在[0，2]上的最大值=__________，最小值=________。 六、解答题(0题) 72. 参考答案 1.C 2.C 本题考查的知识点为高阶偏导数． 由于z=ysinx，因此 可知应选C． 3.A 4.A 5.D 本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法： 6.C 7.B 由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B． 8.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系． 由于f(x)为分段函数，点x＝1为f(x)的分段点，且在x＝1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限． 9.D 本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系． 由函数连续性的定义：若在x0处f(x)连续，则 可知选项D正确，C不正确． 由于连续性并不能保证f(x)的可导性，可知A不正确． 10.A解析：本题考查的知识点为判定极值的必要条件． 由于y=x3-ax，y'=3x2-a，令y'=0，可得 由于x=1为y的极小值点，因此y'|x=1=0，从而知 故应选A． 11.B 12.A 由导数公式可知(5x)'=5xln5，故选A。 13.B 由于f'(x)＞0，可知．f(x)在(0，1)内单调增加。因此选B。 14.D 本题考查的知识点为导数的几何意义． 由导数的几何意义可知，若y＝f(x)在点x0处可导，则曲线)，y＝f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f(x0)． 由于y＝ln x，可知 可知应选D． 15.C 16.B 17.C 本题考查了函数的极限的知识点 18.D 由所给二次积分可知区域D可以表示为0≤y≤l，y≤x≤1。 其图形如右图中阴影部分．又可以表示为0≤x≤1，0≤y≤x。 因此选D。 19.C 20.D解析：本题考查的知识点为原函数的概念． 由于x2为f(x)的原函数，因此 f(x)=(x2)'=2x， 因此 f'(x)=2． 可知应选D． 21.0 本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题． 通常求解的思路为： 先求出连续函数f(x)在(a，b)内的所有驻点x1,…，xk． 比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的x即为，(x)在[a，b]上的最大(小)值点． 由y=x3-2x+1，可得 Y'=3x2-2． 令y'=0得y的驻点为，所给驻点皆不在区间(1，2)内，且当x∈(1，2)时有 Y'=3x2-2＞0． 可知y=x3-2x+1在[1，2]上为单调增加函数，最小值点为x=1，最小值为f(1)=0． 注： 也可以比较f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即为f(x)在[1，2]上的最小值． 本题中常见的错误是，得到驻点和之后，不讨论它们是否在区间(1，2)内．而是错误地比较 从中确定f(x)在[1，2]上的最小值．则会得到错误结论． 22. 23.(x+1)ex 本题考查了函数导数的知识点。 24. 25.11 解析： 26. 本题考查的知识点为幂级数的收敛半径． 所给级数为缺项情形，由于 27.-4cos2x 28. 29. 2 30.因为级数为，所以用比值判别法有当＜1时收敛，即x2＜2。收敛区间为，故收敛半径R=。 31. 32. 本题考查的知识点为：参数方程形式的函数求导． 33.y=f(0) 34.(2x-y)dx+(2y-x)dy 35.π/4 本题考查了定积分的知识点。 36.本题考查的知识点为原函数的概念。 由于sinx为f(x)的原函数，因此f(x)=(sin x)=cosx。 37.2 38.ln|1-cosx|+Cln|1-cosx|+C 解析： 39. 40. 41. 列表： 说明 42. 43. 44.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 45. 46. 47. 48.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 49. 50.由等价无穷小量的定义可知 51.由二重积分物理意义知 52. 53. 54. 55. 56. 则 57. 由一阶线性微分方程通解公式有 58. 函数的定义域为 注意 59.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 60. 61. 62. 本题考查的知识点为求曲线的渐近线． 由于 可知y＝0为所给曲线的水平渐近线． 【解题指导】 63. 64. 65. 66. 67. 68.本题考查的知识点为两个：定积分表示－个确定的数值；计算定积分． 这是解题的关键!为了能求出A，可考虑将左端也转化为A的表达式，为此将上式两端在[0，1]上取定积分，可得 得出A的方程，可解出A，从而求得f(x)． 本题是考生感到困难的题目，普遍感到无从下手，这是因为不会利用“定积分表示－个数值”的性质． 这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中． 69. 70.y'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=ex(x2+2x)。y'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=ex(x2+2x)。 71.∵y=xe-x ∴y"=e-x一xe-x=0；驻点x=1 ∵f(1)=e-1；f(0)=0；f(1)=e ∴f(x)在[02]上最大值为e；最小值为e-1∵y=xe-x ∴y"=e-x一xe-x=0；驻点x=1 ∵f(1)=e-1；f(0)=0；f(1)=e ∴f(x)在[0,2]上最大值为e；最小值为e-1 72.