辽宁省丹东市第二十五中学高二数学理期末试题含解析

辽宁省丹东市第二十五中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，那么(     ) A．命题p与命题q的真值相同 B．命题p一定是真命题 C．命题q不一定是真命题 D．命题q一定是真命题 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】阅读型． 【分析】根据命题和其否定真假性相反，判定出p的真假，结合“或”命题真假确定q的真假．对照选项即可． 【解答】解：命题￢p是真命题，则p是假命题． 又命题pvq 是真命题，所以必有q是真命题． 故选D． 【点评】本题考查复合命题真假性的判定及应用．复合命题真假一般转化成基本命题的真假． 2. 在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第个三角形数为　                                                     （    ） A．         B.         C.          D. 参考答案： B 略 3. 已知ξ的分布列如下： 1 2 3 4   并且，则方差（  　）   Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 参考答案： A 略 4. 设a，b都是不等于1的正数，则“loga2＜ logb2”是“2a＞2b＞2”的（　　） A．充要条件        B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由“”， 得＜， 得：＜0， 得b＞1＞a或a＞b＞1或0＜b＜a＜1， 由2a＞2b＞2，得：a＞b＞1， 故“”是“2a＞2b＞2”的必要不充分条件， 故选：C． 【点评】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，是基础题． 　 5. 函数的最小正周期是--------------------------------（    ） A            B           C            D  参考答案： D 略 6. 已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A．    B.    C.     D. 参考答案： A 略 7. 某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是(　　) A．0.146 2    B．0.153 8  C．0.996 2  D．0.853 8 参考答案： A 8. 已知函数的定义域为R.当时，；当时，；当时，.则（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 2 参考答案： D 试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D． 考点：函数的周期性和奇偶性．   9.  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     参考答案： C 10. 设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且，则的面积是（ *** ） A.1           B.         C.2          D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点A（4，0），抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的焦点为F，点P在C上，△PFA为正三角形，则p=　　． 参考答案：   【分析】根据抛物线的焦点，结合等边三角形的性质，运用中点坐标公式，求出P的坐标，代入抛物线的方程，解方程可得p的值． 【解答】解：抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的焦点为F（，0）， 可得|AF|=4﹣， 由△PFA为等边三角形，可得P（（4+），（4+））， 代入抛物线的方程，可得（4+）2=2p?（4+）， 化为5p2+112p﹣192=0， 解得p=或﹣24（舍去）， 故答案为：． 　 12. 等差数列{an}的前n项和．则此数列的公差d=_______． 参考答案： 2 【分析】 利用等差数列前n项和，求出的值，进而求出公差. 【详解】当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用数列的前项和求数列的公差，考查基本运算求解能力，属于容易题. 13. 如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为　　． 参考答案： 【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD?AD求解． 【解答】解：由相交弦定理得到AF?FB=EF?FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=， 设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD?AD，即x?4x=（）2，x= 故答案为： 14. 设函数，，不等式对恒成立，则的取值集合是       ． 参考答案： 15.            . 参考答案： 略 16. 已知是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若，，则         ②若 ③若      ④若 其中正确命题的序号有________. 参考答案： ①④ 17. 空间向量, ,且，则          ． 参考答案： 3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求的值． 参考答案： （Ⅰ）因为，所以，………………1分 由于，所以，………………4分 所以．…………………………6分 （Ⅱ）原式．………………………9分 ．……………12分 19. （本题满分16分）已知函数 ，其中 （1）判断并证明在上的单调性； （2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求实数的值，并求出不动点； （3）若存在使成立 , 求实数的取值范围． 参考答案： 解：（1）在上增函数    ……………………………………………2分 证明：，设 ∵    ∴ ∴，函数在上单调递增．………………………5分 （2）令， 令（负值舍去）    ………………………………………7分 将代入得 ……10分 （3）由题意存在使成立， 即 存在使成立， 也就要存在使成立， 化简得   ，     …………………………………………13分 由于，时取等号 所以且解得 ……………………………………………………16分 20. 已知圆C的方程为． （Ⅰ）求圆C的半径及圆心坐标； （Ⅱ）求经过点（0，6）且与圆C相切的直线l的方程． 参考答案： 略 21. 已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1． （Ⅰ）求椭圆C1的标准方程； （Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系． 【分析】（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程． （Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1）， ∴c=1，又b2=1，∴ ∴椭圆方程为： +x2=1．  … （Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在， 设直线l1：y=kx﹣1 由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0 ∵直线l1与抛物线C2相切于点A． ∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．… ∵切点A在第一象限． ∴k=1… ∵l∥l1 ∴设直线l的方程为y=x+m 由，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，… △=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0， 解得． 设B（x1，y1），C（x2，y2），则， ．… 又直线l交y轴于D（0，m） ∴… = 当，即时，．… 所以，所求直线l的方程为．… 22. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1． （1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程； （2）证明：不等式lnx≤x﹣1恒成立． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可； （2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值，证出结论即可． 【解答】解：（1）f′（x）=，（x＞0）， ∴f′（1）=0，f（1）=0， 故切线方程是：y=0； （2）证明：由（1）令f′（x）＞0，解得：x＜1， 令f′（x）＜0，解得：x＞1， 故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， ∴f（x）的最大值是f（1）=0， ∴f（x）≤0在（0，+∞）恒成立， 即lnx≤x﹣1恒成立．