福建省福州市海口中学高二数学理上学期期末试卷含解析

福建省福州市海口中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数是定义在R上的奇函数，且满足当时，，则使的的值是 （    ） A． B．   C．    D． 参考答案： D 略 2. 曲线 (为参数)与坐标轴的交点是（　 ） A．          B．        C．        D． 参考答案： B 3. 设m＞0，则直线x+y+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切 参考答案： C 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题． 【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式得到d大于等于r，可得出直线与圆的位置关系． 【解答】解：由圆x2+y2=m（m＞0），得到圆心坐标为（0，0），半径r=， ∵圆心到直线x+y+1+m=0的距离d=≥==r，当且仅当m=1时取等号， ∴直线与圆的位置关系是相切或相离． 故选C 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及基本不等式的运用，直线与圆的位置关系可以由d与r的大小来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交． 4. 在三棱锥中，，，点分别是的中点，平面，则直线与平面所成角的正弦值为（  ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C ∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC， 又∵OP⊥平面ABC ∴PA=PB=PC. 取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角。 设, 在Rt△POA中,PO=1， 在Rt△POC中，D是PC的中点，PC= ，∴OD= , 在Rt△POE中, ， 在Rt△ODF中 故选C.   5. 的边上的高线为，，，且，将沿折成大小为的二面角，若，则折后是 A．锐角三角形                             B．钝角三角形             C．直角三角形                             D．形状与，的值有关的三角形   参考答案： C 6. 某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是(     ) A．13 B．14 C．15 D．16 参考答案： C 【考点】茎叶图． 【专题】概率与统计． 【分析】把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中位数即可． 【解答】解：根据茎叶图中的数据，把这组数据按照从小到大的顺序排列为 5，8，10，14，16，16，20，23； ∴这组数据的中位数是=15． 故选：C． 【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题目． 7. 已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 作，垂足为点D．利用点在抛物线上、， 结合抛物线的定义列方程求解即可. 【详解】作，垂足为点D． 由题意得点在抛物线上，则得．① 由抛物线的性质，可知，， 因为，所以． 所以，解得：．②． 由①②，解得：（舍去）或． 故抛物线C的方程是． 故选C． 【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题. 8. 目前哈尔滨的电话号码为8位数字，某人打电话时,忘记了电话号码的最后一位数字是多少，但他记得最后一位是偶数，不超过两次就按对的概率为（     ） A.          B.           C.           D.   参考答案： C 略 9. 若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为 A．-              B．               C．-2                   D．2 参考答案： A 10. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在内的频率为（　　） A．0.001 B．0.1 C．0.2 D．0.3 参考答案： D 【考点】频率分布直方图． 【分析】由频率分布直方图，能求出新生婴儿体重在内的频率． 【解答】解：由频率分布直方图，得： 新生婴儿体重在内的频率为0.001×300=0.3． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则          ． 参考答案： 6 由题得， 所以故填6.   12. “，”的否定是____________． 参考答案： ，使得 【分析】 直接利用全称命题的否定得解. 【详解】“，”的否定是：“，使得” 【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题。 13. 在平面直角坐标系xoy中，若直线（t为参数）过椭圆C:（为参数）的右顶点，则常数a的值为______. 参考答案： 3 14. 不等式﹣6x2﹣x+2≤0的解集是　　． 参考答案： {x|x≥，或x≤﹣} 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】先求出方程﹣6x2﹣x+2=0的实数根，结合二次函数图象，写出不等式﹣6x2﹣x+2≤0的解集． 【解答】解：方程﹣6x2﹣x+2=0的实数根是 x1=，x2=﹣； ∴不等式﹣6x2﹣x+2≤0的解集是 {x|x≥，或x≤﹣}． 故答案为：{x|x≥，或x≤﹣}． 15. 的解集是                 参考答案： 16. 若xdx=2，则常数a的值为　　． 参考答案： 2 【考点】定积分． 【分析】根据定积分的计算法则计算即可． 【解答】解：由xdx=x2|=a2=2， 解得a=2， 故答案为：2 17. 已知函数y=loga（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标是　　． 参考答案： 【考点】对数函数的单调性与特殊点． 【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用． 【分析】由loga1=0，知x+3=1，求出x，y，由此能求出点P的坐标． 【解答】解：∵loga1=0， ∴x+3=1，即x=﹣2时，y=﹣， ∴点P的坐标是P． 故答案为： 【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜” （1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？   非读书迷 读书迷 合计 男   15   女     45 合计       （2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X） 附：K2=n=a+b+c+d P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考答案： 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BL：独立性检验． 【分析】（1）利用频率分布直方图，直接计算填写表格，然后利用个数求解K2，判断即可． （2）求出概率的分布列，然后利用超几何分布求解期望与方差即可． 【解答】解：（1）完成下面的2×2列联表如下   非读书迷 读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计 60 40 100 … ≈8.249 VB8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关… （2）视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为．由题意可知X～B（3，），P（x=i）= （i=0，1，2，3）… 从而分布列为 X 0 1 2 3 P ．… E（x）=np=，D（x）=np（1﹣p）= … 19. 如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E﹣BC﹣A正切值的大小． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法． 【专题】计算题；证明题；空间角． 【分析】根据题意，以BC为直径的球与线段PD有交点，因此设BC的中点为O（即球心），取AD的中点M，连接OM，作ME⊥PD于点E，连接OE．要使以BC为直径的球与PD有交点，只要OE≤OC即可，设OC=OB=R，算出ME=，从而得到OE2=9+≤R2，解此不等式得R≥2，所以AD的取值范围[4，+∞）．最后根据AD=4时，点E在线段PD上惟一存在，结合二面角平面角的定义和题中数据，易得此时二面角E﹣BC﹣A正切值． 【解答】解：若以BC为直径的球面与线段PD有交点E，由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆，则必有BE⊥CE，因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点． 设BC的中点为O（即球心），再取AD的中点M， ∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD， ∵矩形ABCD中，O、M是对边中点的连线 ∴OM∥AB，可得OM⊥平面PAD， 作ME⊥PD交PD于点E，连接OE， 则OE⊥PD，所以OE即为点O到直线PD的距离， 又∵OD＞OC，OP＞OA＞OB，点P，D在球O外， ∴要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OE≤OC（设OC=OB=R）即可． 由于△DEM∽△DAP，可求得ME=， ∴OE2=9+ME2=9+ 令OE2≤R2，即9+≤R2，解之得R≥2； ∴AD=2R≥4，得AD的取值范围[4，+∞）， 当且仅当AD=4时，点E在线段PD上惟一存在， 此时作EH∥PA交AD于H，再作HK⊥BC于K，连接EK， 可得BC⊥平面EHK，∠EKH即为二面角E﹣BC﹣A的平面角 ∵以BC为直径的球半径R==OE，∴ME==， 由此可得ED==3，所以EH=== ∵PA⊥平面ABCD，EH∥PA，∴EH⊥平面ABCD，得EH⊥HK ∵Rt△EHK中，HK=AB=3，∴tan∠EKH== 即二面角E﹣BC﹣A的平面角正切值为． 【点评】本题给出特殊四棱锥，探索空间两条直线相互垂直的问题，并求二面角的正切值，着重考查了空间垂直位置关系的证明和二面角平面角的作法，以及求二面角大小等知识点，属于中档题． 20. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行. （1）求函数的单调区间； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案： （1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）.