2022年河北省唐山市第七十二中学高三数学理模拟试题含解析

2022年河北省唐山市第七十二中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合，则        A．[0，2]     B．[1，2]     C．[0，4]     D．[1，4] 参考答案： 答案：A 2. 与最接近的数是 A.             B.               C.            D. 参考答案： A 略 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（　　） A．23 B．31 C．32 D．63 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2°+21+22+23+24的值，并输出． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2°+21+22+23+24的值， 由于S=2°+21+22+23+24=31． 故选：B． 4. 已知命题，则为   (    ) A．             B．        C．             D． 参考答案： 【知识点】全称命题、特称命题.A2  【答案解析】B  解析：根据全称命题的否定是特称命题，故选B。 【思路点拨】将全称命题改为特称命题即可。 5. 等比数列中，，=4，函数，则（    ） A．      B．     C．      D． 参考答案： C 6. 如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的，，则输出的a=（   ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 参考答案： C 【分析】 更相减损术求的是最大公约数，由此求得输出的值. 【详解】由于更相减损术求的是最大公约数，和的最大公约数是，故输出，故选C. 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查更相减损术求最大公约数，属于基础题. 7. 某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为(  ) A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 参考答案： B 【分析】 按甲乙分情况求解即可 【详解】若甲、乙一起（无其他人）有 种 若甲、乙与另一人一起（三人一起）有种 ，共18+18=36种 故选：B 【点睛】本题考查排列组合的简单应用，考查分类讨论思想，是基础题 8. 若函数的图象经过一、二、四象限，则f(a)的取值范围为 A．(0,1)         B．       C.(－1,1)         D． 参考答案： B 依题意可得解得，. 设函数，则在上为减函数，故.   9. 在等差数列中，首项公差，若，则（    ） （A）、 （B）、         （C）、 （D）、 参考答案： A ，         ∴． 10. =(     ) A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： C 【考点】两角和与差的正弦函数． 【专题】计算题． 【分析】将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 【解答】解： = = =sin30°=． 故选C 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 正项数列的前项和为，且，若，则__________. 参考答案： 12. 若函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x﹣m在[0，]上有零点，则实数m的取值范围是    ． 参考答案： [﹣1，] 考点：三角函数中的恒等变换应用． 专题：三角函数的求值． 分析：由条件利用三角函数的恒等变换可得f（x）=sin（2x﹣），由题意可得函数y=sin（2x﹣） 的图象和直线y=m在[0，]上有交点，求得函数y=sin（2x﹣） 在[0，]上的值域，即为所求的m的范围． 解答： 解：函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x﹣m=sin2x﹣cos2x﹣m=sin（2x﹣）﹣m 在[0，]上有零点， 故函数y=sin（2x﹣） 的图象和直线y=m在[0，]上有交点， 函数y=sin（2x﹣） 在[0，]上的值域为[﹣1，]，故m∈[﹣1，]， 故答案为：[﹣1，]． 点评：本题主要考查三角函数的恒等变换、正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于基础题． 13. 正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是          . 参考答案：   14. 若实数，满足，则的最大值为___________. 参考答案： 3 如图4，画出可行域，可知目标函数的最大值是当直线过时取得，即． 15. 已知i是虚数单位，复数z满足，则z=          ． 参考答案： 由题意可得：，则： .   16. 已知α∈（π，2π），cosα=，则等于       ． 参考答案： ﹣ 考点：两角和与差的正切函数． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：先根据角的范围求出正切值，再求tan（）． 解答： 解：由α∈（π，2π），cosα=，则， ∴sinα=﹣=﹣，tanα=﹣， ∴tan（）==﹣， 故答案为：﹣． 点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系式与诱导公式的应用，属于基础题． 17. 已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率是     ，标准方程是             . 参考答案： ,  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【知识点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．B1  【答案解析】（1）f(x)＝x2－x＋1；（2）(－∞，－1)． 解析：(1)由f(0)＝1，得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x， 则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x， 所以解得 因此，f(x)＝x2－x＋1…………………………………………………………….6 (2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1， 由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．……………………………….12 【思路点拨】（1）由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式；（2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0，即可得m的取值范围． 19. 设函数． （1）若是函数的一个极值点，试用a表示b，并求函数的减区间； （2）若，，证明：当时，． 参考答案： （1），当时，函数的减区间为，， 当时，函数的减区间为，；（2）见解析． （1）由， 有，得． 此时有 ． 由是函数的一个极值点，可知，得． ①当，即时，令，得或， 函数的减区间为，． ②当时，函数的减区间为，． （2）由题意有，要证， 只要证： 令 有． 则函数的增区间为，减区间为， 则． 故不等式成立． 20. （本小题满分10分） 设函数.  （1）当a=2时，解不等式； （2）若的解集为，，求证：m+2n4. 参考答案： 【知识点】绝对值不等式的解法；不等式的证明方法.   N4 【答案解析】（1）不等式的解集为；（2）略.  解析：（1）当a=2时，不等式为， 因为方程的解为 所以不等式的解集为； （2）即，解得，而解集是， 所以，解得a=1,所以 所以.---------10分 【思路点拨】（1）利用两实数差的绝对值的几何意义，写出方程的解， 从而得到原不等式的解集.(2)由已知条件求得a值，再用基本不等式 证得结论. 21. 已知函数． （）求曲线在点处的切线方程． （）求函数的零点和极值． （）若对任意，都有成立，求实数的最小值． 参考答案： （）∵，，∴，， ∴在点处的切线的斜率为，切点为， ∴切线方程为：，即． （）由，可得，即零点为； 由时，，递增，时，，递减，可得： 当时，取得极小值，，无极大值．【注意有文字】 （）当时，，当时，， 若，令，，则，， 由于，则有，不符合题意； 若时，对任意，，都有，，则有， 所以， 即时，对任意，，都有成立． 综上所述，实数的最小值是． 22. 已知函数满足，且的最小值为． （1）求函数f(x)的单调递增区间； （2）若，，求的值． 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求周期，即得，最后根据正弦函数性质求单调区间； （2）先求，再根据两角差正弦公式求的值． 【详解】（1） 因为，且的最小值为，所以, 因此 由得 即递增区间为 （2）， 【点睛】本题考查三角函数解析式、正弦函数单调性以及与两角差正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.