2022年江苏省镇江市中山中学高三数学理模拟试题含解析

2022年江苏省镇江市中山中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（   ） A 、 B、 C、     D、 参考答案： B 2. 公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则                                                               （     ）   2           4               8                  16 参考答案： D 3. 某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B，则P（AB）=0.4，P（A）=0.7，利用P（B|A）=可得结论． 【解答】解：设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B， 则P（AB）=0.4，P（A）=0.7， 所以P（B|A）==． 故选：C． 【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础． 4. 运行如图所示的程序框图，若输出的是，则①应为 A．≤ B．≤ C．≤ D．≤ 参考答案： C 略 5. 在区域D：内随机取一个点，则此点到点A(1，2)的距离大于2的概率是（   ） A.     B.    C.    D. 参考答案： A 略 6. 已知集合M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N为（　　） A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2} 参考答案： A 【考点】交集及其运算． 【分析】求出M中的元素，求出M、N的交集即可． 【解答】解：M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}={0，1}， N={x|x=2n，n∈N}， 则M∩N={0}， 故选：A． 　 7. 已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（  ） A.   B.   C. 或  D.  或7 参考答案： C 8. 函数的零点所在的一个区间是                                                                                                                                         (    ） A．（一2，一1）   B．（一1，0）      C．（0，1）        D．（1，2） 参考答案： B 9. 是双曲线的右支上一点，点分别是圆和上的动点，则的最小值为                   (    ) A． 1    B． 2        C． 3      D．4 参考答案： C 10. 已知是直线，是平面，给出下列命题： ①若内有两相交直线； ② ③； ④； ⑤ 其中正确的命题序号是           A.①③⑤        B.②④          C.①⑤           D.①④ 参考答案： 答案:D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量 不共线，，，如果，则k=______． 参考答案： 【分析】 由向量，所以，得到且，即可求解，得到答案。 【详解】由题意，向量，所以， 则且，解得. 【点睛】本题主要考查了向量的共线条件的应用，其中解答中熟记向量共线条件，列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。 12. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：                            根据上述分解规律，若的分解中含有数35，则的值为_________. 参考答案： 6 13. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k, 对定义域中的任意，等式＝＋恒成立．现有两个函数，，则函数、与集合的关系为               参考答案： 14. 已知向量，，若，则          ． 参考答案： 5 ∵且 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为5   15. 已知函数的定义域为，当时，;当时，；当时，．则__________． 参考答案： 当时，，所以当时，，故； 当时，，所以． 当时，，所以，故． 16. 的展开式中项的系数是____________（用数字作答） 参考答案： 80 17. 在平面直角坐标系中，设点，其中O为坐标原点，对于以下结论： ①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P为直线上任意一点，则[OP]的最小值为1； ③设P为直线上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个” 的必要不充分条件是“”.   其中正确的结论有                 （填上你认为正确的所有结论的序号）.   参考答案： ①③ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （13分）（2016?江西模拟）已知函数f（x）=x2﹣2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）． （1）若函数f（x）有且只有一个极值点，求实数a的取值范围； （2）对于函数f（x）、f1（x）、f2（x），若对于区间D上的任意一个x，都有f1（x）＜f（x）＜f2（x），则称函数f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间D上的一个“分界函数”．已知f1（x）=（1﹣a2）lnx，f2（x）=（1﹣a）x2，问是否存在实数a，使得f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用． 【分析】（1）求出函数的导数，根据f（x）有且只有一个极值点，得到x2﹣2ax+1＜0恒成立，求出a的范围即可； （2）根据“分界函数”的定义，只需x∈（1，+∞）时，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，判断函数的单调性，求出a的范围即可． 【解答】解：（1）f′（x）=，x∈（1，+∞）， 令g（x）=x2﹣2ax+1，由题意得：g（x）在[1，+∞）有且只有1个零点， ∴g（1）＜0，解得：a＞1； （2）若f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”， 则x∈（1，+∞）时，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立， 令h（x）=f（x）﹣（1﹣a）x2=（a﹣）x2﹣2ax+lnx， 则h′（x）=， ①2a﹣1≤0即a≤时，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，且h（1）=﹣﹣a， ∴h（1）≤0，解得：﹣≤a≤； ②2a﹣1＞0即a＞时，y=（a﹣）x2﹣2ax的图象开口向上， 存在x0＞1，使得（a﹣）﹣2ax0＞0， 从而h（x0）＞0，h（x）＜0在（1，+∞）不恒成立， 令m（x）=f（x）﹣（1﹣a2）lnx=x2﹣2ax+a2lnx， 则m′（x）=≥0，m（x）在（1，+∞）递增， 由f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，得：m（1）≥0，解得：a≤， 综上，a∈[﹣，]时，f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”． 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查新定义问题，是一道综合题． 19. （本小题满分12分）已知，，函数,其中,若相邻两对称轴间的距离大于等于 (Ⅰ)求的取值范围; (Ⅱ)在△ABC中,分别是角的对边,,当最大时,,     求△ABC的面积. 参考答案： 联立解得  所以………………12分   20. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=，且直线l经过点F（﹣，0） （ I ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值． 参考答案： 【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（ I ）利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，将曲线C转化成直角坐标方程；则直线l的普通方程x﹣y=m，将F代入直线方程，即可求得m，求得直线l的普通方程； （Ⅱ）由（ I ）可知：设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点（2cosθ， sinθ），则L=2（4cosθ+2sinθ）=4sin（θ+φ），根据正弦函数的性质，即可求得L的最大值． 【解答】解：（ I ）由曲线C的极坐标方程：ρ2=，即ρ2+ρ2sin2θ=4， 将ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，代入上式，化简整理得：； 直线l的普通方程为x﹣y=m，将F代入直线方程，则m=， ∴直线l的普通方程为x﹣y+=0； （Ⅱ）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点（2cosθ， sinθ），（0＜θ＜）， ∴椭圆C的内接矩形的周长L=2（4cosθ+2sinθ）=4sin（θ+φ），tanφ=， ∴曲线C的内接矩形的周长为L的最值为4． 21. 坐标系与参数方程 已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为． （Ⅰ）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）圆,是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．   参考答案： （Ⅰ）：，：；（Ⅱ）两圆相交，. 解析：（Ⅰ）由得 …………2分 又 即 …………5分 （Ⅱ）圆心距得两圆相交，…………6分 由得直线的方程为           …………7分 所以，点到直线的距离为                …………8分                                        …………10分 【思路点拨】（Ⅰ）由圆的参数方程消参得结论，把公式代入圆的极坐标方程为即可. （Ⅱ））因为圆心距所以两圆相交，由得弦所在直线的方程为  所以，点到直线的距离为，.   略 22. 已知函数． (1) 求的值；    (2) 若，求． 参考答案： ，  略