河南省洛阳市偃师首阳山镇第二初级中学高三数学理期末试题含解析

河南省洛阳市偃师首阳山镇第二初级中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知点F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（　　） A．2 B．4 C． D． 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率． 【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5， 不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5， ∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°， 又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a， ∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3． ∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1． 在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52， 又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52， ∴c=， ∴双曲线的离心率e==． 故选：C． 2. 已知函数，若，且，则的取值范围是 A．         B．            C．         D． 参考答案： C 3. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数（  ） A. i B. －i C. D. 参考答案： A 【分析】 利用等式把复数z计算出来，然后计算z的共轭复数得到答案. 【详解】，则.故选A 【点睛】本题考查了复数的计算和共轭复数,意在考查学生对于复数的计算能力和共轭复数的概念,属于简单题. 4. 函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（　　） A． B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞） 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】由函数的解析式求得f（2）＜0，f（3）＞0，可得f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间． 【解答】解：∵函数， ∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0， 故有f（2）f（3）＜0， 根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3）， 故选：C． 5. 展开式中不含项的系数的和为    A.      B. 0        C. 1        D. 2 参考答案： B 6. 已知，命题，则（    ） A．是假命题; B．是假命题; C. 是真命题;  D. 是真命题  参考答案： D 7.                                  (   ) A.-         B.-       C.          D. 参考答案： D 略 8. 参考答案： C 9. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为(     ) A.        B.       C.       D. 参考答案： D 略 10. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为    A.       B.          C.           D. 参考答案： C【知识点】几何体的结构，旋转组合体的性质.G1 解析：根据题意得，圆锥的轴截面是等边三角形，其内切圆半径为1，则高为3，所以此三角形边长为，所以圆锥的体积为: ,故选C. 【思路点拨】由已知得此组合体的结构：圆锥的轴截面是等边三角形，其内切圆半径为1，由此得圆锥的体积. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设随机变量X的分布列如下：       若数学期望E (X)＝10，则方差D (X)＝        ． 参考答案： 35 12. 设为实数，若复数，则 A.     B.   C.   D. 参考答案： A 略 13. 直线x＋y＋1＝0的倾斜角是       . 参考答案： 14. 如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆1千克，则共需油漆的总量为    ___千克.   参考答案： 15. 函数的最大值是__________． 参考答案： 5 略 16. 已知点P（x，y）满足，的取值范围是　　． 参考答案： [，2] 【考点】简单线性规划． 【分析】首先画出平面区域，利用的几何意义是可行域内的点到C（﹣1，﹣2）的斜率，只要求出斜率的最值即可． 【解答】解：由已知对应的平面区域如图； 而的几何意义为可行域内的点到C（﹣1，﹣2）的斜率，当与O连接是直线的斜率最大，与B（4，0）连接时，直线的斜率最小，所以，，所以，的取值范围是[，2]； 故答案为：[，2]． 17. 若，且，则的值为     . 参考答案： 1或. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点，以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线（为参数）与曲线交于两点，且. （1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求此时点的极坐标； （2）求. 参考答案： （1），， ∴当时，取得最大值，此时，的极坐标为. （2）由，得，即， 故曲线的直角坐标方程为. 将代入并整理得：，解得， ∵，∴由的几何意义得，，， 故. 19. 在极坐标系中，直线与曲线()相切，求的值. 参考答案： 以极点O为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系， 由，得， 得直线的直角坐标方程为．                                  ………………5分 曲线，即圆， 所以圆心到直线的距离为． 因为直线与曲线（）相切，所以，即.    ……………10分 20. 为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）． （1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； （2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量X表示所抽取的4名学生中得分在[80，90）内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计． 【分析】（1）根据概率的求解，样本容量，运用直方图得出y==0.004， （2）确定人数X的可能取值为2，3，4，利用概率公式，结合组合公式分别求解P（X=2）===，P（X=3）==，P（X=4）==． 列出分布列求解数学期望即可． 【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004， x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030 （2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，分数在[90.100]内的学生有2人，共7人．抽取的4名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值为2，3，4，则 P（X=2）===，P（X=3）==，P（X=4）==． 所以X的分布列为   2 3 4 P 所以EX=2×= 【点评】本题考查了离散型的概率分布问题，数学期望，仔细阅读题意，准确计算，考虑学生解决实际问题的能力，属于中档题． 21. （本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面平面. 参考答案： 22. 已知函数. （Ⅰ）若函数的图象在点(1，f(1))处的切线方程为，求的单调区间； （Ⅱ）若函数在为增函数，求实数的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）∵ ， 可知，得， 所以,的定义域是， 故由得，由得， 所以函数的单调增区间是单调减区间是。 （Ⅱ）函数的定义域为函数，要使函数函数在其定义域内为单调增函数，只需函数在区间恒成立.即在区间恒成立.即在区间恒成立. 令，， ，当且仅当时取等号，∴ .实数的范围.