江苏省扬州市红桥中学高三数学理测试题含解析

江苏省扬州市红桥中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. cos（）的值为（　　） 　 A． B． C． ﹣ D． ﹣ 参考答案： 考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 解答： 解：cos（）=cos（670+）=cos=cos（π+）=﹣cos=﹣， 故选：C． 点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 2. 令，函数，满足以下两个条件：①当时，或；②，，，则实数的取值范围是（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B , 当 时， , 所以当 时， ， ,所以  因为 ， ，所以当 时，值域包含 ，所以 ，选B. 点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A? （A? ）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 3. 在正项等比数列中，已知，，，则          A. 11                                     B. 12                                     C. 14                                     D. 16 参考答案： C　 由与可得，，因此，所以，故选C. 4. 满足下列条件的函数中，为偶函数的是（ ） A．         B．       C.          D． 参考答案： D 5. （5分）已知α，β为不重合的两个平面，直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（　　） 　 A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 　 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的判定． 【分析】： 利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判断出后者推不出前者；利用各种条件的定义得到选项． 解：∵平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直 ∴直线m?α，那么“m⊥β”成立时，一定有“α⊥β”成立 反之，直线m?α，若“α⊥β”不一定有“m⊥β”成立 所以直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 故选A 【点评】： 本题考查平面垂直的判定定理、考查各种条件的定义并利用定义如何判定一个命题是另一个命题的什么条件． 6. 设定义在的单调函数，对任意的都有.方程 在下列哪个区间内有解（   ） A．（0,1）                   B．（1,2）                  C．（2,3）                  D．（3,4） 参考答案： B   考点：函数与方程；根的存性问题. 7. A.           B.                C.               D. 参考答案： B 8. 已知上的增函数，那么的取值范围是A．       B．       C．       D．(1，3) 参考答案： C 9. 四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ① y与x负相关且；  ② y与x负相关且； ③ y与x正相关且；  ④y与x正相关且. 其中一定不正确的结论的序号是  (   ) A．①②       B．②③        C．③④         D． ①④ 参考答案： D 略 10. 的三个内角的对边分别为，已知，向量， ，若，则角的大小（   ）   A.          B.          C.          D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知 则的值为__________． 参考答案： 12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________. 参考答案：   根据正弦定理可得,即，显然，所以，故.   13. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线 的 距离是           . 参考答案： 如下图: . 14. .已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且最大值为1，则满足的解集为         . 参考答案： 略 15. 在数列中，已知，，则其通项公式为              参考答案： 16. 右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，    水位上升1米后，水面宽            米． 参考答案： 17. 设的二项展开式中各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若h+ t=272，则二项展开式为x2项的系数为        。 参考答案： 1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点． （1）求BD长； （2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD． 参考答案： 【考点】相似三角形的判定． 【专题】推理和证明． 【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可． （2）通过三角形的两角和，求解角即可． 【解答】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB． ∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴， ∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．… （2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A． ∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO． ∴AD=AO   … 【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法． 19. （本小题满分12分） 已知直三棱柱中，，，点在上． （1）若是中点，求证：∥平面; （2）当时，求二面角的余弦值． 参考答案： 证明：（1）证明：连结BC1，交B1C于E，DE． ∵ 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点， ∴侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，∴ DE// AC1....... 2分    ∵DE平面B1CD， AC1平面B1CD，                      ∴AC1∥平面B1CD．      ………………………4分 （2）   ∵ AC⊥BC， 所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．       则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 0, c)，B1 (3, 0, 4)． 设D (a, b, 0)（，）   …………………5分 ∵点D在线段AB上，且， 即． ∴．                     …………………7分 所以，，．平面BCD的法向量为   设平面B1 CD的法向量为， 由 ，， 得 ，  所以，． 设二面角的大小为，． ………………………………………11分 所以二面角的余弦值为．              ……………………12分 20. （13分）（2016秋?天津期中）已知函数f（x）=2sinxcos（x+）+． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值及最小值． 参考答案： 【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间． （Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，]上的最值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinxcos（x+）+=2sinx?（cosx﹣sinx）+=sinxcosx﹣sin2x+ =sin2x﹣?+=sin（2x+）． 令2kπ+≤x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z． （Ⅱ）在区间[0，]上，2x+∈[，]， 故当2x+=时，函数f（x）取得最大值为1；当2x+=时，函数f（x）取得最小值为﹣． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 21. （本小题满分12分） 在平面直角坐标系xoy中，已知点A，B的坐标分别为．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是．记点P的轨迹为． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）已知直线AP，BP分别交直线于点M，N，轨迹在点P处的切线与线段MN交于点Q，求的值．   参考答案： （Ⅰ）设点坐标为，则 直线的斜率（）；直线的斜率（）． 由已知有（），化简得（）． 4分 故点的轨迹的方程为（）．（注：没写或扣1分） （Ⅱ）设（），则． 5分 直线的方程为，令，得点纵坐标为； 6分 直线的方程为，令，得点纵坐标为； 7分 设在点处的切线方程为， 由得． 8分 由，得， 整理得． 将代入上式并整理得，解得， 9分 所以切线方程为． 令得，点纵坐标为． 10分 设，所以， 所以． 11分 所以． 将代入上式，， 解得，即． 12分   22. 已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点为A和B满足（其中O为原点），求的取值范围. 参考答案： 解：(Ⅰ)设双曲线C2的方程为， 则 故C2的方程为………………（4分） （Ⅱ）将 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 即             ①………………（6分） . 由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 ………………（8分）             解此不等式得         ③………………（10分） 由①、②、③得 故k的取值范围为 ………………………………………………（12分）   略