河北省石家庄市育星中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
参考答案：
C 解析：
得，或
2. 已知三棱锥 S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的体积为（ ）
A．4π B． C． D．12π
参考答案：
B
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的体积．
【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴BC==，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，
∴球O的半径R==2，
∴球O的体积V=πR3=π．
故选：B．
3. 直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（﹣3，3），其斜率取值范围是（ ）
A．﹣1 B．k＞1或k C．k或k＜1 D．k或k＜﹣1
参考答案：
D
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．
【分析】直接利用直线斜率公式求出两个端点的斜率，即可得到结果．
【解答】解：因为直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（﹣3，3），
所以直线端点的斜率分别为： =﹣1， =，如图：
所以k或k＜﹣1．
故选D．
4. 已知某几何体的三视图如下，则该几何体的表面积是 （ ）
A. 36＋ B. 24 C. 36＋ D. 36
参考答案：
A
5. 函数的导函数原点处的部分图象大致为 ( )
参考答案：
A
6. 下列在曲线上的点是（ ）
A、 B． C． D．
参考答案：
D
略
7. 设O是正三棱锥P—ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式 （ ）
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．既有最大值又有最小值，两者不等
D．是一个与面QPS无关的常数
参考答案：
解析：设正三棱锥P—ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS－PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS－PQR=vO－PQR+vO－PRS+vO－PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D
8. 一圆锥侧面展开图为半圆，平面与圆锥的轴成角，则平面与该圆锥侧面相交的交线为
A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆
参考答案：
D
圆锥侧面展开图中心角，，母线与轴的夹角为30°，而平面与圆锥的轴成45°，45°>30°，所以截线是椭圆.
9. 对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
A. [－2，＋） B. （－，－2）
C. [－2，2] D. [0，＋）
参考答案：
A
略
10. 已知点M是抛物线x2=4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．
【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：MP=MF
当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小
即：CM⊥x轴
CM所在的直线方程为：x=1与x2=4y建立方程组解得：
M（1，）
|CM|=4﹣，
点M到圆C的最小距离为：|CM|﹣|AC|=3
抛物线的准线方程：y=﹣1
则|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4．
故选B．
【点评】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个四棱锥的底面为矩形，其正视图和俯视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ▲ ，侧视图的面积为 ▲ ．
参考答案：
略
12. 毛泽东主席在《送瘟神》中写到“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，那么火星的大圆周长约为______________万里．
参考答案：
13. 函数f（x）=x?ex，则f′（1）= ．
参考答案：
2e
【考点】导数的运算．
【分析】根据（uv）′=u′v+uv′和（ex）′=ex，求出函数的导函数，把x等于1代入到导函数中即可求出f′（1）的值．
【解答】解：f′（x）=（x?ex）′=ex+xex，
∴f′（1）=e+e=2e．
故答案为：2e．
14. 从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球（），共有种取法，在这种取法中，可以分为两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出的m个球中有1个黑球，共有种取法，即有等式：成立.试根据上述思想可得 (用组合数表示)
参考答案：
略
15. 从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在内的频率为________．
参考答案：
0.7
样本数据落在内有7个，所以频率为0.7．
16. （5分）若，则x= ．
参考答案：
利用组合数的性质易得
若C18x=C183x﹣6，则：
x=3x﹣6或x+3x﹣6=18，
则x=3或6
故答案为：3或6．
由组合数公式，由C18x=C183x﹣6，找到其与x与3x﹣6的关系，即可得答案．
17. 设是等差数列｛｝的前n项和，已知=3，=11，则等于___________
参考答案：
63
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 当a ≥ 0时，解关于x的不等式．
参考答案：
原不等式可化为(x – 2)(ax – 2) > 0，
(1)当a = 0时，原不等式即为，解得x < 2；
(2)当a > 0时，，
①若，即a > 1时，解得x <或x >2；②若，即0
；
③若，即a =1时，解得x ≠2；
综上所述，原不等式的解集为：当a = 0时，；当0 1时，．
19. (本小题满分13分) 现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位．问：（1）所有可能的坐法有多少种？
（2）此4人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？
（3）所有空位不相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答）
参考答案：
解：(1) 4分(2) 8分(3) 13分
20. 在中,角,,所对的边分别为,,,,.
(Ⅰ)求及的值;
(Ⅱ)若,求的面积.
参考答案：
(Ⅰ)因为,
所以.
因为,
所以.
由题意可知, .
所以.
因为.
所以
.
(Ⅱ)因为,,
所以.
所以.
所以.
略
21. （10分）已知函数f（x）=x﹣alnx+在x=1处取得极值．
（I）求a与b满足的关系式；
（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．
参考答案：
考点：
函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．3804980
专题：
导数的概念及应用．
分析：
（Ⅰ）利用f′（1）=0即可求得a与b的关系．
（Ⅱ）先求导得f′（x）=，然后对参数a分a＞2，a=2，a＜2讨论即可．
解答：
解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣﹣，
∵函数f（x）=x﹣alnx+在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，∴1﹣a﹣b=0，即b=1﹣a．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）可得f′（x）===．
令f′（x）=0，则x1=1，x2=a﹣1．
①当a＞2时，x2＞x1，当x∈（0，1）∪（a﹣1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1，a﹣1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a﹣1，+∞）；单调递减区间为（1，a﹣1）．
②当a=2时，f′（x）≥0，且只有x=1时为0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当a＜2时，x2＜x1，当x∈（0，1﹣a）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1﹣a，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1﹣a），（1，+∞）；单调递减区间为（a﹣1，1）．
点评：
本题考查了含有参数的函数的单调性，对参数恰当分类讨论是解决问题的关键．
22. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，
（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】建立空间如图所示的坐标系，求得、的坐标，可得cos＜＞的值，再取绝对值，即为异面直线NE与AM所成角的余弦值．
假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，求得=（0，1，1），可设=λ?=（0，λ，λ）．由ES⊥平面AMN可得，解得λ 的值，
可得的坐标以及||的值，从而得出结论．
【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM所在的直线为z轴，
建立空间坐标系．
则有题意可得 D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、
N（1，1，1）、E（，1，0）．∴=（﹣，0，﹣1），=（﹣1，0，1），
cos＜＞==﹣，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为．
假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵ =（0，1，1），
可设=λ?=（0，λ，λ）．
又=（，﹣1，0），=+=（，λ﹣1，λ），
由ES⊥平面AMN可得，即，解得λ=．
此时， =（0，，），||=，故当||= 时，ES⊥平面AMN．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用坐标法求异面直线所成的角，用坐标法证明两条直线互相垂直，体现了转化的数学思想，属于中档题．
