陕西省榆林市玉林实验中学2022年高三数学理期末试卷含解析

陕西省榆林市玉林实验中学2022年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知实数a，b满足a2+b2=1，设函数f（x）=x2﹣6x+5，则使f（a）≥f（b）得概率为(     ) A．+ B．+ C． D． 参考答案： D 考点：几何概型． 专题：计算题；概率与统计． 分析：函数f（x）=x2﹣6x+5，使f（a）≥f（b），则（a﹣b）（a+b﹣6）≥0，作出图象，即可得出结论． 解答： 解：函数f（x）=x2﹣6x+5，使f（a）≥f（b），则（a﹣b）（a+b﹣6）≥0， 如图所示，使f（a）≥f（b）得概率为， 故选：D． 点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 2. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（　　） A．0 B． C． D．﹣ 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】根据框图的流程依次计算得到本题程序是计算S=sin+sin+sinπ+…+sin的值值，根据正弦函数的性质，计算输出S的值． 【解答】解：由程序框图知：本程序是计算S=sin+sin+sinπ+…+sin的值， ∵y=sinx的周期是2π， ∴sin+sin+sinπ+…+sin2π=0，即一个周期内的6个数值之和为0， 由于：2016=336×6， 则S=sin+sin+sinπ+…+sin =336×（sin+sin+sinπ+…+sin2π）=336×0=0． 故选：A． 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程得到本程序的计算公式是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的计算公式，属于基础题． 3. 如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（      ） A  1       B  2       C  3      D  4 参考答案： B 4. 已知都是实数，且，则“”是“”的（    ）  A．充分不必要条件        B．必要不充分条件         C．充要条件              D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 5. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，a3=5，Sk+2﹣Sk=36，则k的值为（　　） A.8     B.7    C.6         D.5 参考答案： A【知识点】等差数列及其前n项和.    D2 解析：由a1=1，a3=5得d=2,所以 Sk+2﹣Sk=，解得:k=8,故选A. 【思路点拨】由等差数列的通项公式，前n项和公式求得结论. 6. 集合，则等于（    ） A．    B．     C．     D． 参考答案： B 7. 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为 A.      B.      C.        D. 参考答案： D 故选D. 8. 已知x，y满足条件，则的最大值为 A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： C 9. 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C．                 D． 参考答案： 【解析】本小题主要考查圆与直线相切问题。 设圆心为由已知得 答案：B 10. 已知等差数列{an}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（　　） A．100 B．210 C．380 D．400 参考答案： B 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果． 【解答】解：d=，a1=3， ∴S10=10×3+\frac{10×9×4}{2} =210， 故选B 【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，若A（﹣1，0），则的最小值为       ． 参考答案： 考点：抛物线的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则==sin∠PAM，故当PA和抛物线相切时，最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值． 解答： 解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1． 过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|， 则==sin∠PAM，∠PAM 为锐角． 故当∠PAM 最小时，最小， 故当PA和抛物线相切时，最小． 设切点P（a，2），则PA的斜率为=（2）′=， 求得a=1，可得P（1，2），∴|PM|=2|PA|=2 sin∠PAM===， 故答案为：． 点评：本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，属于中档题． 12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=且a＞b，则∠B=        ． 参考答案： 30° 考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题：解三角形． 分析：利用正弦定理化简已知等式，整理后求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数． 解答： 解：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB， ∵sinB≠0， ∴sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB=， ∵a＞b，∴∠A＞∠B， ∴∠B=30°． 故答案为：30° 点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 13. 如右图，是一程序框图，则输出结果为          。 参考答案：     14. 近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）　　（在横线上填甲或乙即可） 参考答案： 乙 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】甲2次购买的数量相同，平均单价为两次单价和的一半；乙购买产品的平均单价=2次总价÷2次的总数量． 【解答】解：甲购买产品的平均单价为： =， 乙购买产品的平均单价为： =， ∵﹣=≥0， 又∵两次购买的单价不同， ∴a≠b， ∴﹣＞0， ∴乙的购买方式的平均单价较小． 故答案为乙． 15. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=4，则S7=　　． 参考答案： 28 【考点】85：等差数列的前n项和． 【分析】由已知得S7=（a1+a7）=2a4，由此能求出结果． 【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=4， ∴S7=（a1+a7）=7a4=28． 故答案为：28． 【点评】本题考查等差数列的前2018项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 16. （文科）一个正方体的内切球和外接球的表面积之比为          参考答案： 17. 实数x、y满足，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是　　． 参考答案： [﹣1，1] 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3）， ∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3， 可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值， 若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件， 若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0， 要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值， 则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1， 即a≤1，可得a∈（0，1]． 若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0， 要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤kBA=1 ∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1] 故答案为：[﹣1，1]． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． （1）求证：BM∥平面ADEF； （2）求证：平面BDE⊥平面BEC． 参考答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析． 证明：（1）取中点，连结、，   在中，、分别为、的中点， ∴，且． 由已知，， 所以，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，且平面，∴平面． （2）∵为正方形，∴． 又∵平面平面，且平面平面， 又∵平面，∴平面，∴． 在直角梯形中，，，可得． 在中，，，∴，∴平面， 又∵平面，∴平面平面． 19. （本大题12分） 已知函数． （I）设是函数的一个极值点，求函数在处的切线方程； （II）若对任意，恒有成立，求的取值范围． 参考答案： （I）；    （II）．   略 20. 如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E， （Ⅰ）求证：BD⊥A1C； （Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质． 【分析】（I）由已知得AC是A1C在平面ABCD上的射影，由此利用BD⊥AC，能证明BD⊥A1C． （II）连结A1E，C1E，A1C1，推导出BD⊥A1E，BD⊥C1E，则∠A1EC1为二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此能求出二面角A1﹣BD﹣C1的大小． 【解答】证明：（I）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中， ∵A1A⊥底面ABCD， ∴AC是A1C在平面ABCD上的射影，… ∵BD⊥AC，∴BD⊥A1C． … （II）连结A1E，C1E，A1C1， 与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，… ∴∠A1EC1为二面角A1﹣BD﹣C1的平面角．… ∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，… 又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2，AA1=，且AC⊥BD，… ∴A1C1=4，AE=1，EC=4，∴A1E=2，C1E=2，… 在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，∴∠A1EC1=90°，… 即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为90°．… 21. 已知函数. （Ⅰ）求函数在上的最值； （Ⅱ）若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）当，；当，；（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）求得函数点导数，得到在的单调性，即可求解函数的最值； （Ⅱ）求得函数的导数，分，和三种情况讨论，得到函数的单