贵州省遵义市国营机器厂子弟学校高一数学理联考试题含解析

贵州省遵义市国营机器厂子弟学校高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是定义在上的偶函数，则的值域是（　  ） A．　　   B．　　 C．　   　D．与有关，不能确定 参考答案： A 略 2. 已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 A.            B.            C.            D. 参考答案： A 3. 在平面直角坐标系中，若两点P，Q满足条件： ①P，Q都在函数y=f（x）的图象上； ②P，Q两点关于直线y=x对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“和谐点对” （注：点对{P，Q}与{Q，P}看作同一对“和谐点对”） 已知函数f（x）=，则此函数的“和谐点对”有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 参考答案： C 【考点】进行简单的合情推理；奇偶函数图象的对称性；反函数． 【分析】作出f（x）=log2x（x＞0）关于直线y=x对称的图象C，判断C与函数f（x）=x2+3x+2（x≤0）的图象交点个数，可得答案． 【解答】解：作出函数f（x）的图象， 然后作出f（x）=log2x（x＞0）关于直线y=x对称的图象C， 如下图所示： 由C与函数f（x）=x2+3x+2（x≤0）的图象有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对． 故选C 　 4. 函数y = sin x cos x + cos x + sin x + 1的值域是（    ） （A）[ 0，+ ∞ ])     （B）( 0，+ ∞ )     （C）[–，+]    （D）[ 0，+] 参考答案： D 5. 已知△ABC的顶点A(2,3)，且三条中线交于点G(4,1),则BC边上的中点坐标为（    ） Ａ．(5,0)            B．(6,-1)        C．(5,-3)          D．(6,---3) 参考答案： A 略 6. 两条异面直线在平面上的投影不可能是  A、两个点   B、两条平行直线    C、一点和一条直线   D、两条相交直线 参考答案： A 7. 已知数列﹛an﹜的通项公式，则﹛an﹜的最大项是（  ） (A) a1  (B)  a2  (C ) a3  (D)  a4   参考答案： B 8. 设，，则等于（    ） A.         B.        C.        D. 参考答案： D 9. 下列函数中，在区间为增函数的是（     ） .    .    .   . 参考答案： A 略 10. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B．     C． D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在实数R中定义一种新运算：@，对实数a，b经过运算a@b后是一个确定的唯一的实数．@运算有如下性质：（1）对任意实数a，a@0=a；（2）对任意实数a，b，a@b=ab+（a@0）+（b@0）那么：关于函数f（x）=ex@的性质下列说法正确的是：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）是偶函数；③函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，这三种说法正确的有　　． 参考答案： ①②③ 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【分析】由题意写出函数f（x）的解析式，再分析题目中的3个命题是否正确． 【解答】解：由题意，a@b=ab+（a@0）+（b@*0），且a*0=a， 所以a@b=ab+a+b； 所以f（x）=（ex）@=ex?+ex+=1+ex+， 对于②，f（x）的定义域为R，关于原点对称， 且f（﹣x）=1+e﹣x+=1++ex=f（x），∴f（x）为偶函数，②正确； 对于③，f′（x）=ex﹣e﹣x，令f′（x）≤0，则x≤0， 即f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），③正确； 对于①，由②③得：f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增， ∴f（x）最小值=f（0）=3，①正确； 综上，正确的命题是①②③． 故答案为：①②③． 12. 向量a，b的夹角为120°，且，则等于______ 参考答案： 【分析】 表示出，，代入数据即可。 【详解】 【点睛】此题考查模长计算，把模长表示出来即可，属于基础题目。 13. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________。 参考答案： 14. 的单调递减区间是___________▲_____________. 参考答案： 15. 已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则________，________． 参考答案： 2 ； 由图知函数的周期是，又知，，时，，故答案为(1)；(2). 【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，可以先求出的所有的值，再根据题设中的条件，取特殊值即可. 16. .正实数，函数在上是增函数，那么的取值范围是    ． 参考答案： 解法一：2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k＝0时，－≤x≤，由题意：－≤－①，≥②，由①得ω≤，由②得ω≥2，∴0＜ω≤. 解法二：∵ω>0，∴据正弦函数的性质 f(x)在[－，]上是增函数，则f(x)在[－，]上是增函数，又f(x)周期T＝， 由≥得0<ω≤.   三、解答题（共48分） 17. 圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆，则此圆锥的底面半径为     . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题13分）                                            已知函数。 （Ⅰ）若，试判断并证明的单调性； （Ⅱ）若函数在上单调，且存在使成立，求的取值范围； （Ⅲ）当时，求函数的最大值的表达式。 参考答案： 略 19. 如图，在三棱锥P-ABC中，，．D，E分别是BC，PB的中点． （Ⅰ）求证：DE∥平面PAC； （Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD； （Ⅲ）在图中作出点P在底面ABC的正投影，并说明理由． 参考答案： （Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【分析】 （Ⅰ）利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理可以证明出平面； （Ⅱ）利用等腰三角形三线合一的性质，可以证明线线垂直，根据线面垂直的判定定理，可以证明出线面垂直，最后根据面面垂直的判定定理，可以证明出平面平面； （Ⅲ）通过面面垂直的性质定理，可以在△中，过作于即可. 【详解】（Ⅰ）证明：因为，分别是，的中点， 所以． 因为平面， 所以平面． （Ⅱ）证明：因为，，是的中点， 所以，． 所以平面． 所以平面平面． （Ⅲ）解：在△中，过作于，则点为点在底面的正投影． 理由如下： 由（Ⅱ）知平面平面，且平面平面， 又平面，， 所以平面， 即点为点在底面的正投影． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定定理和性质定理，考查了推理论证能力. 20. 函数的部分图象如图所示， 求（Ⅰ）函数f（x）的解析式； （Ⅱ）函数y=Acos（ωx+?）的单调递增区间． 参考答案： 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）由已知图象确定最值、周期以及初相，得到函数f（x）的解析式； （Ⅱ）利用Ⅰ的结论，结合余弦函数的性质求单调增区间． 【解答】解：（Ⅰ）由五点作图法知，A=1，，解得ω=2，φ=， 所以函数解析式为； （Ⅱ）令，解得， 所以y=Acos（ωx+?）的单调增区间为． 21. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD. (1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD. 参考答案： (1)连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点， 故在△CPA中，EF∥PA， 又∵PA?平面PAD，EF?平面PAD， ∴EF∥平面PAD. (2)∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥PA. 又PA＝PD＝AD， ∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD. 又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD. 又∵PA?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PCD. 22. 若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x+3，且f（0）=3 （1）求f（x）的解析式； （2）设g（x）=f（x）﹣kx，求g（x）在[0，2]的最小值?（k）的表达式． 参考答案： 【考点】二次函数的性质． 【分析】（1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=3得c=3，由f（x+1）﹣f（x）=2x+3，得2ax+a+b=2x+3，解方程组求出a，b的值，从而求出函数的解析式； （2）g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+3的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，分类讨论给定区间与对称轴的关系，可得不同情况下?（k）的表达式． 【解答】解：设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=3得c=3， 故f（x）=ax2+bx+3． 因为f（x+1）﹣f（x）=2x+3， 所以a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=2x+3． 即2ax+a+b=2x+3， ∴， 解得：a=1，b=2， ∴f（x）=x2+2x+3…4分； （2）g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+3的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线， 当＜0，即k＜2时，当x=0时，g（x）取最小值3； 当0≤≤2，即2≤k≤6时，当x=时，g（x）取最小值； 当＞2，即k＞6时，当x=2时，g（x）取最小值11﹣2k； 综上可得：?（k）=，…12分．