山东省淄博市临淄区梧台镇中学高二数学文月考试题含解析

山东省淄博市临淄区梧台镇中学高二数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角面积为（　　） A. 6 B. C. 3 D. 12 参考答案： A 【分析】 先求导数得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后求切线与坐标轴交点，计算面积. 【详解】的导数为，， 可得在点处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为. 分别令，可得切线在，轴上的截距为6，2． 即有围成的三角形的面积为：． 故选：A． 【点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 在中，角的对边分别是，已知，则（　　） A． B． C． D．或 参考答案： B 略 3. 直线y = x + 3和曲线 –+= 1的交点的个数是（   ） （A）0             （B）1             （C）2            （D）3 参考答案： D 4. 直线和圆交于两点，则的中点坐标为（  ） A     B     C     D  参考答案： D 5. 点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成的角的度数为(　　) A．30°        B．45°          C．60°            D．90° 参考答案： C 6. 同时掷两个骰子,向上点数和为5的概率是(    ) A. 4;  B.   C. ;   D. 参考答案： B 7. 从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A．至少有1个白球，都是白球           B．至少有1个白球，至少有1个红球 C．恰有1个白球，恰有2个白球         D．至少有1个白球，都是红球 参考答案： C 8. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是(     ) A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 参考答案： C 【考点】棱台的结构特征． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果． 【解答】解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台； 图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台； 图③是棱锥． 图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱． 故选C． 【点评】本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念． 9. 若关于x的不等式ex﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，则（a+1）b的最大值为（　　） A．e+1 B．e+ C． D． 参考答案： C 【考点】函数恒成立问题． 【分析】利用不等式ex﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，利用导函数研究单调性求出a，b的关系，再次利用导函数研究单调性（a+1）b的最大值． 【解答】解：不等式ex﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，令f（x）=ex﹣（a+1）x﹣b，则f（x）≥0在R上恒成立． 只需要f（x）min≥0即可． f′（x）=ex﹣（a+1） 令f′（x）=0， 解得x=ln（a+1），（a＞﹣1） 当x∈（﹣∞，ln（a+1））时，f′（x）＜0，则f（x）时单调递减． 当x∈（ln（a+1），+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）时单调递增． 故x=ln（a+1）时，f（x）取得最小值 即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b 那么：（a+1）2[1﹣ln（a+1）]≥b（a+1） 令（a+1）=t，（t＞0） 则现求g（t）=t2﹣t2lnt的最大值． g′（t）= 令g′（t）=0，解得：t= 得极大值为g（）= ∴（a+1）b的最大值为． 故选C． 10. 点在空间直角坐标系中的位置是在（　　） Ａ．轴上　　Ｂ．平面上　　　Ｃ．平面上　　　Ｄ．第一卦限内 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的单调递减区间为       ． 参考答案： (0,2) 12. 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过的概率___________ 参考答案： 略 13. 中，，则=   ▲   ． 参考答案： 14. 设随机变量ξ的概率分布列为，，则　　　　. 参考答案： ∵所有事件发生的概率之和为1，即P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=1，∴，∴c=，∴ P（ξ=k）=，∴P（ξ=2）=．故答案为． 15. 已知直线l的斜率为－1，则它的倾斜角为          ． 参考答案： 135° 斜率为，设倾斜角为，则，有.   16. 对于函数f（x）给出定义： 设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”． 某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算 =　　． 参考答案： 2016 【考点】63：导数的运算；3T：函数的值． 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论． 【解答】解：由， ∴f′（x）=x2﹣x+3， 所以f″（x）=2x﹣1，由f″（x）=0，得x=． ∴f（x）的对称中心为（，1）， ∴f（1﹣x）+f（x）=2， 故设f（）+f（）+f（）+…+f（）=m， 则f（）+f（）+…+f（）=m， 两式相加得2×2016=2m， 则m=2016， 故答案为：2016． 【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法． 17. 如果函数f（x）=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点，那么实数a的范围是　　． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】求出函数的导数，利用导函数有两个极值点，列出不等式求解即可． 【解答】解：函数f（x）=lnx+ax2﹣2x，函数的定义域：x＞0， 可得：f′（x）=+2ax﹣2=，函数f（x）=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点， 可得：2ax2﹣2x+1=0，有两个不相等的正实数根，可得a＞0，并且△=4﹣8a＞0， 解得a∈（0，）． 故答案为：（0，）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知复数． （Ⅰ）若z为纯虚数，求实数a的值； （Ⅱ）若z在复平面上对应的点在直线上，求实数a的值． 参考答案： (Ⅰ)若z为纯虚数，则，且，解得实数a的值为2； (Ⅱ)z在复平面上对应的点， 在直线上，则，解得． 19. （本题满分10分） 如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点． （Ⅰ）证明：MN∥平面BCE； （Ⅱ）求二面角M—AN—E的正切值．   　   参考答案： （Ⅰ）见解析;（Ⅱ） (Ⅰ)     略                        (Ⅱ)（文）解：作于点，连结． ∵， 平面．又∥ 又∵ ∴的平面角． 设易得： 20. 设f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2（a∈R）． （I）解关于x的不等式f（x）≥0； （II）若a＞0，当﹣1≤x≤1时，f（x）≤0时恒成立，求a的取值范围． （III）若当﹣1＜a＜1时，f（x）＞0时恒成立，求x的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题． 【分析】（I）根据a=0和a≠0以及根的大小讨论求解． （II）a＞0，当﹣1≤x≤1时，利用二次方程根的分布，可求a的取值范围． （III）当﹣1＜a＜1时，设g（a）=a（x2+x）﹣2（x+1），g（a）＞0恒成立．看成关于a的一次函数求x的取值范围． 【解答】解：（ I）由不等式f（x）≥0可得，（ax﹣2）（x+1）≥0． 当a=0时，不等式可化为﹣2（x+1）≥0，解得x≤﹣1； 当a≠0时，方程（ax﹣2）（x+1）=0有两根． 若a＜﹣2，，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得； 若a=﹣2，不等式可化为﹣2（x+1）2≥0，解得x=﹣1； 若﹣2＜a＜0，，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得； 若a＞0，，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得； 综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}；当a＜﹣2时，不等式的解集为；当a=﹣2时，不等式的解集为{﹣1}；当﹣2＜a＜0时，不等式的解集为；当a＞0时，不等式的解集为． （II）因a＞0，f（x）≤0故函数f（x）开口向上，根据二次函数的特征，若要﹣1≤x≤1时，f（x）≤0时恒成立，只需即可． 因此，由， 解得0＜a≤2． 所以，a的取值范围为（0，2]． （ III）若当﹣1＜a＜1时，设g（a）=a（x2+x）﹣2（x+1） 因此，当﹣1＜a＜1时，f（x）＞0时恒成立等价于当﹣1＜a＜1时，g（a）＞0恒成立． 当x=0时，g（a）=﹣2＜0，不符合题意； 当x=﹣1时，g（a）=0，不符合题意； 当x≠0，x≠﹣1时，只需成立即可 即，解得﹣2≤x≤﹣1． 所以，x的取值范围为[﹣2，﹣1） 21. 命题p：关于的不等式对于一切恒成立，命题q：指数 函数是增函数，若为真，为假，求实数的取值范围； 参考答案： 设，由于关于的不等式对于一切恒成立，所以函数的图象开口向上且与轴没有交点，故，∴.   2分 函数是增函数，则有，即.2分 由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假. 5分 ①若p真q假，则  ∴；8分 ②若p假q真，则  ∴；11分 综上可知，所求实数的取值范围是｛或｝12分 22. 已知函数． （1）求函数的极值点． （2）设函数，其中，求函数在上的最小值． 参考答案： 见解析． 解：（）函数的定义域为，， ∴令，得，令，得， ∴函数在单调递减，在单调递增， ∴是函数的极小值点，极大值点不存在． （）由题意得， ∴， 令得． ①当时，即时，在上单调递增， ∴在上的最小值为； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ∴在上的最小值为； ③当，即时，在区间上单调递减， ∴在上的最小值为， 综上所述，当时，的最小值为； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为．