2022-2023学年湖南省衡阳市 衡山县东湖中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市 衡山县东湖中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.   设定义在R上的奇函数满足，则的解集为 A．   B．   C．   D． 参考答案： B 2. 阅读如下程序，若输出的结果为，则在程序中横线?处应填入语句为（   ） S=0 n=2 i=1 DO    S=S+1/n    n=n*2    i=i+1 LOOP UNTIL  _?_ PRINT END （A）   （B）  （C）  （D）   参考答案： B 3. 集合A=，集合B=，则(      ) A.            B.            C.           D. 参考答案： D 略 4. 设全集U ={1,2,3,4,5},   若A={1,4},  ={1,2} ,  则(A∪B)=          （    ） A．             B．{1，3，4，5}        C．{1，2，3，4，5}              D．{4}  参考答案： D 5. （5分）（2015?陕西校级二模）两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是（　　） 　 A． 40 B． 48 C． 60 D． 68 参考答案： B 【考点】： 排列、组合及简单计数问题． 【专题】： 排列组合． 【分析】： 由题意得到只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达，需要分三类，根据分类计数原理即可得到． 解：只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达． 若奥迪车上没有小孩，则有=10种； 若有一个小孩，则有（++）=28种； 若有两个小孩，则有+=10种． 故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种． 故选：B． 【点评】： 本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题． 6. 若把函数的图象向右平移（＞0）个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（   ） A．              B．            C．             D． 参考答案： D 7. 函数y=ln的图象大致是(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】正弦函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据f（﹣x）=f（x），可得函数的图象关于y轴对称，故排除B、D，再根据当x∈（0，1）时，ln＜0，从而排除C，从而得到答案． 【解答】解：∵函数y=ln，∴x+sinx≠0，x≠0，故函数的定义域为{x|x≠0}． 再根据y=f（x）的解析式可得f（﹣x）=ln（）=ln（）=f（x）， 故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D． 当x∈（0，1）时，∵0＜sinx＜x＜1，∴0＜＜1， ∴函数y=ln＜0，故排除C，只有A满足条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，属于中档题． 8. “a≥0”是“函数 在区间（－∞，0）内单调递减”的（    ） A.充要条件                                 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件           D.即不充分也不必要条件 参考答案： A 略 9. 为研究需要，统计了两个变量x，y的数据·情况如下表:   其中数据x1、x2、x3…xn，和数据y1、y2、y3，…yn的平均数分别为和，并且计算相关系数r＝-0.8，回归方程为，有如下几个结论： ①点(，)必在回归直线上，即＝b+；②变量x，y的相关性强； ③当x＝x1，则必有；④b＜0． 其中正确的结论个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： C 【分析】 根据回归方程的性质和相关系数的性质求解. 【详解】回归直线经过样本中心点，故①正确； 变量的相关系数的绝对值越接近与1，则两个变量的相关性越强，故②正确； 根据回归方程的性质，当时，不一定有，故③错误； 由相关系数知 负相关，所以，故④正确； 故选C. 【点睛】本题考查回归直线和相关系数，注意根据回归方程得出的是估计值不是准确值. 10. 已知，则         （      ）. 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知p：﹣2≤x≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣4）＞0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣6）∪（1，+∞） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】先求出q下的不等式，得到q：x＜a，或x＞a+4，而若p是q成立的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p，所以a＞1，或a+4＜﹣2，这样便得到了a的取值范围． 【解答】解：q：x＜a，或x＞a+4； ∴若p是q成立的充分不必要条件，则： a＞1，或a+4＜﹣2； ∴a＞1，或a＜﹣6； ∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）． 12. 函数与的图象所围成封闭图形的面积为_______. 参考答案： 略 13. 若，函数有相同的最小值，则 ___________． 参考答案： 14. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，            参考答案： 15. 函数（为常数，A＞0，＞0）的部分图象如图所示，则的值是        . 参考答案： 由图象可知，，所以,,所以，，所以，所以，所以，. 16. 设函数 f（x）=，若f（m）＞f（﹣m），则实数m的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣1）∪（0，1） 【分析】由分段函数的解析式，讨论m＞0，m＜0，再由对数函数的单调性，解不等式，求并集即可得到． 【解答】解：函数 f（x）=， 当m＞0，f（m）＞f（﹣m）即为﹣lnm＞lnm， 即lnm＜0，解得0＜m＜1； 当m＜0，f（m）＞f（﹣m）即为ln（﹣m）＞﹣ln（﹣m）， 即ln（﹣m）＞0，解得m＜﹣1． 综上可得，m＜﹣1或0＜m＜1． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）． 【点评】本题考查分段函数的运用，考查对数函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 17. 若复数z满足（i是虚数单位），则z ＝_____________; 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 本题满分13分)如图，是圆的直径，点在圆上，,    交于点,平面,,,,. (Ⅰ)证明：； (Ⅱ)求平面 与平面所成锐二面角的余弦值； (Ⅲ)求点到平面的距离. 参考答案： (1)．如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．由已知条件得， ．由， 得， ．   ---------4分 (2)由（1）知． 设平面的法向量为， 由 得， 令得，， 由已知平面，所以取面的法向量为， 设平面与平面所成的锐二面角为，则，∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．  ……………9分 (3)     ------------13分 略 19. （本小题满分14分）      将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中都是实数。定义映射的模为：在的条件下的最大值，记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值. （1）若，求； （2）如果，计算的特征值，并求相应的； （3）若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②,并验证满足这两个条件. 参考答案： 解：（1）由于此时，又因为是在的条件下，有  （时取最大值），所以此时有。 ……………………4分 （2）由， 可得：，解此方程组可得：，从而。 当时，解方程 此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且。 当时，同理可得，相应的（写出一个即可）， 其中且                                             ………9分 （3）解方程组 从而向量与平行，从而有应满足： 。 当时，有唯一的特征值，且。具体证明为： 由的定义可知：对任意的有：，所以为特征值。此时。 满足：，所以有唯一的特征值。 在的条件下，从而有。……………14分 20. 本小题满分14分）已知，设函数． （Ⅰ）若在(0, 2)上无极值，求t的值； （Ⅱ）若存在，使得是在[0, 2]上的最大值，求t的取值范围； （Ⅲ）若为自然对数的底数)对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）1;（Ⅱ）（Ⅲ） 【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 解析：（Ⅰ），又在(0, 2)无极值                 …………………………………………3分 （Ⅱ）①当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 由得：在时无解 ②当时，不合题意； ③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 即 ④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件 综上所述：时，存在，使得是在[0,2]上的最大值.  …8分 （Ⅲ）若对任意恒成立， 即对任意恒成立，令，由于m的最大值为1， 则恒成立，否则存在使得， 则当时，不恒成立， 由于，则，…          10分 当时，，则， 若，，则在上递减，在递增， 即，在上是递增函数， 满足条件，t的取值范围是…          14分 【思路点拨】（Ⅰ）求导数，利用f（x）在（0，2）上无极值，即可求t的值；（Ⅱ）分类讨论，利用函数的单调性，结合f（x0）是f（x）在[0，2]上的最值，即可求t的取值范围； （Ⅲ）对原函数求导转化为不等式恒成立的问题，，再利用导数结合单调性即可。 21. （本题满分16分） 在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角AC边长为BC边长的倍，三角形ABC的面积为S（千米2）. （1）试用和a表示S； （2）若恰好当时，S取得最大值，求a的值.   参考答案： (1)设边 ，则 ， 在三角形中，由余弦定理得： ， 所以 ， 所以 ， （2）因为 ， ， 令 ，得 且当时， ，， 当时， ，， 所以当时，面积最大，此时 ，所以， 解得 ， 因为 ，则.   22. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，Sn﹣4Sn﹣1﹣2=0（n≥2，n∈Z）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn=log2an，Tn为{bn}的前n项和，求证＜2． 参考答案： 【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和． 【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】（I）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出． （II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）当n≥3时，可得Sn﹣4Sn﹣1﹣2﹣（Sn﹣1﹣4Sn﹣2﹣2）=0（n≥2，n∈Z）．∴an=4an﹣1， 又因为a1=2，代入表达式可得a2=8，满足上式．