湖南省娄底市游家镇中心中学高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省娄底市游家镇中心中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知i是虚数单位，复数（其中）是纯虚数，则m= （A）－2                    （B）2                        （C）                     （D） 参考答案： B 略 2. 设，则 （A）        （B）   （C）   （D） 参考答案： C 略 3. 点P的坐标满足，过点P的直线与圆相交于A、B 两点，则的最小值是                    （    ） A．              B．4           C．          D．3 参考答案： B 略 4. 将包含甲、乙两队的8支球队平均分成两个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同小组的分配方法有 A. 20种            B.   35种        C. 40 种       D.60种 参考答案： C 略 5. 同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在[﹣，]上是增函数的一个函数为（　　） A．y=sin（+） B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣） D．y=cos（﹣） 参考答案： C 【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】由题意求出函数周期，可知满足条件的函数是选项B或C，再由在[﹣，]上是增函数进一步判断只有C符合． 【解答】解：由图象的相邻两条对称轴间的距离是，可知，T=π，选项B、C满足． 由x∈[﹣，]，得2x∈[0，π]，函数y=cos（2x+）为减函数，不合题意． 由x∈[﹣，]，得2x﹣∈[，]，函数y=sin（2x﹣）为增函数，符合合题意． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题． 　 6. 已知f（x）=sin2（x+），若a=f（lg5），b=f（lg），则(     ) A．a+b=0 B．a﹣b=0 C．a+b=1 D．a﹣b=1 参考答案： C 【考点】二倍角的余弦；对数的运算性质；余弦函数的定义域和值域． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由题意，可先将函数f（x）=sin2（x+）化为f（x）=，再解出a=f（lg5），b=f（lg）两个的值，对照四个选项，验证即可得到答案 【解答】解：f（x）=sin2（x+）== 又a=f（lg5），b=f（lg）=f（﹣lg5）， ∴a+b=+=1，a﹣b=﹣=sin2lg5 故C选项正确 故选C 【点评】本题考查二倍角的余弦及对数的运算性质，解题的关键是对函数的解析式进行化简，数学形式的化简对解题很重要 7. 设等比数列的前项和为，满足，且，则 （A）31        （B）36         (C)42           (D)48 参考答案： A【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3 a3a5=a2a6=64，∵a3+a5=20，∴a3和a5为方程x2-20x+64=0的两根， ∵an＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5=16，a3=4，∴q==2， ∴a1= =1，∴S5==31． 【思路点拨】利用等比中项的性质求得a3a5=a2a6，进而根据a3+a5=20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案． 8. 在各项均为正数的等比数列中，，成等差数列，是数列的前项的和，则   A.1008       B.2016       C.2032         D.4032 参考答案： B 9. 已知函数f(x)＝x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)＝m的五个不等的实数根，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是 (　　) A．(0，π)  B．(－π，π) C．(lg π，1)  D．(π，10) 参考答案： D 略 10. 若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 (t为参数)上，则|PF|等于(　　)． A．2  B．3 C．4  D．5 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若变量．满足条件，则的最大值为                。 参考答案： 本题考查线性规划问题，难度中等.作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分，由图可知，当目标函数经过直线的交点，即图中时取得最大值. 12. 已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是　　． 参考答案：   【考点】简单线性规划． 【分析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：由题意知：可行域如图， 又∵m（x2+y2）≤（x+y）2在可行域内恒成立． 且m≤=1+=1+=1+， 故只求z=的最大值即可． 设k=，则有图象知A（2，3）， 则OA的斜率k=，BC的斜率k=1， 由图象可知即1≤k≤， ∵z=k+在1≤k≤， 上为增函数， ∴当k=时，z取得最大值z=+=， 此时1+=1+=1+=， 故m≤， 故m的最大值为， 故答案为： 　 13. 已知函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=对称，则f（x）在区间[0，π]的单调递增区间为　　 参考答案： [0，]和[，π] 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】依题意，f（0）=f（），可求得m=1，利用辅助角公式可得f（x）=sin（2x+），从而可求得f（x）的单调递增区间． 【解答】解：∵函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=对称， ∴f（0）=f（）， ∴m=1， ∴f（x）=sin（2x+）， 由2kπ﹣≤2x+≤+2kπ，k∈Z得： kπ﹣≤x≤+kπ，k∈Z． 又x∈[0，π]， ∴f（x）在区间[0，π]的单调递增区间为[0，]和[，π] 故答案为：[0，]和[，π]． 14. 直线与直线交于一点，且的斜率为，的斜率为，直线、与轴围成一个等腰三角形，则正实数的所有可能的取值为____________． 参考答案： 或. 略 15. 若函数是函数的反函数，其图像经过点，则         参考答案： 【知识点】反函数；指数与对数；B2，B6，B7 【答案解析】 解析：解：由题意可知函数的的反函数为，又因为它过点，所以，所以 【思路点拨】根据反函数的概念求出函数，然后根据条件求出a的值. 16. （5分）（2015?青岛一模）已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（﹣m）=　　． 参考答案： 4028 【考点】： 函数奇偶性的性质． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： 根据解析式得出f（﹣x）+f（x）=4030，f（m）+f（﹣m）=4030，即可求解． 解：∵函数f（x）=tanx+sinx+2015， ∴f（﹣x）=﹣tanx﹣sinx+2015， ∵f（﹣x）+f（x）=4030， ∴f（m）+f（﹣m）=4030， ∵f（m）=2， ∴f（﹣m）=4028． 故答案为：4028． 【点评】： 本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大． 17. 设数列满足，点对任意的，都有向量 ，则数列的前项和             . 参考答案： n2+n  【知识点】数列与向量的综合．B4 解析：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1）， ∴=（1，an+1﹣an）=（1，2），∴an+1﹣an=2， ∴{an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中， 解得a1=2，∴an=2+（n﹣1）×2=2n，∴Sn==n2+n． 故答案为：n2+n． 【思路点拨】由已知得an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，代入a1+2a2=7中，得a1=1，由此能求出{an}的前n项和Sn． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ． （Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程． （Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y﹣3=0． 圆C的方程为ρ=2sinθ，即 ρ2=2ρsinθ，即 x2+y2=2y，即 x2+=3． （Ⅱ）由求得，或， 故可得A（，﹣）、B（﹣， +）． ∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4． 19. 在中，角所对的边分别为，函数在处取得最大值。Ks5u （1）当时，求函数的值域； （2）若且，求的面积。 参考答案： 在处取得最大值 即（） 的值域为 （2）由正弦定理的，即， 由余弦定理得， 20. （本小题满分13分）如图，某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π立方分米．设圆锥纸筒底面半径为r分米，高为h分米． （1）求出r与h满足的关系式； （2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值． 参考答案： （1）设圆锥纸筒的容积为，则，    由该圆锥纸筒的容积为π，则，即，   故r与h满足的关系式为；                              …………（4分）   （2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小， 设该纸筒的侧面积为，则，其中为圆锥的母线长，且， 所以（ ），          ……(7分) 设 （ ）， 由，解得 ，   当时，；当时，；   因此，时取得极小值，且是最小值，此时亦最小；……(11分) 由得，所以最省时的值为……………… (13分) 21. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）对于任意实数x，t，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案： （1）当时，……………………1分 因为，所以或者或者…………3分 解得：或者， 所以不等式的解集为.…………………………5分 （2）对于任意实数，，不等式恒成立，等价于…………………………………6分 因为，当且仅当时等号成立， 所以………………………………………7分 因为时， 函数单增区间为，单间区减为， 所以当时，……………………………9分 所以， 所以实数的取值范围.…………………………………………………………………10分 22. （本小题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）设的中点为，求证：平面； （Ⅲ）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为， ，求． 参考答案： （Ⅰ）证明： 平面平面,, 平面平面=，平面，