湖南省娄底市孟公镇中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省娄底市孟公镇中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量，，则与(     ) A．垂直          B．不垂直也不平行       C．平行且同向                D．平行且反向 参考答案： A 略 2. 在复平面内，复数对应的点位于                                                                                   （    ）          A．第一象限                B．第二象限                C．第三象限                D．第四象限 参考答案： 答案：C 3.        A．     B．     C．     D． 参考答案： 答案：A 4. 已知函数，则的大致图像为(    ) A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 求出的解析式，然后求导，可以得到函数的极大值，根据这个性质可以从四个选项中，选出正确的图象. 【详解】，由，可得是极大值点，故选D. 【点睛】本题考查了运用导数研究函数的图象问题，考查了识图能力. 5. 已知点P（3,3），Q（3,-3），O为坐标原点，动点M（x, y）满足，则点M所构成的平面区域的面积是      A．12 B．16      C．32 D．64 参考答案： C 略 6. 要得到函数的图像,只需把函数的图像（    ） A．沿轴向左平移个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变 B．沿轴向右平移个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变 C．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变再沿轴向右平移个单位 D．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变,再沿轴向左平移个单位 参考答案： D 7. 已知函数对任意，都有的图像关于对称，且则（　　） A.0 B. C. D. 参考答案： B 略 8. 已知实数x，y满足不等式组，若z=y﹣2x的最大值为7，则实数a=（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，通过目标函数的最值，得到最优解，代入方程即可求解a值． 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示： 令z=y﹣2x，则z表示直线z=y﹣2x在y轴上的截距，截距越大，z越大， 结合图象可知，当z=y﹣2x经过点A时z最大， 由可知A（﹣4，﹣1）， A（﹣4，﹣1）在直线y+a=0上，可得a=1． 故选：B． 9. 已知，则a，b，c的大小关系是 A． B． C． D． 参考答案： D 10. 设平面向量,若⊥，则 A． B． C． D．5 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，且与的夹角，则         ． 参考答案：   12. 已知x、y满足以下约束条件　，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为________． 参考答案： 1 13. 已知点的坐标满足条件点为坐标原点,那么的最大值 等于 ． 参考答案： 试题分析：如右图所示，. 考点：线性规划. 14. 已知向量，，，若∥，则=         ． 参考答案： 5 15. 已知变量满足约束条件，且目标函数的最小值为，则常数_______． 参考答案： 9 16. 若，且为纯虚数，则a的值是          参考答案： 略 17. 已知函数，.设是函数图象的一条对称轴，则的值等于       ． 参考答案： 由题设知．因为是函数图象的一条对称轴，所以，即()． 所以=． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M、N分别是AF、BC的中点， （1）求证：MN∥平面CDEF； （2）求平面MNF与平面CDEF所成的锐二面角的大小． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=4，∠CBF=90°，由此能证明MN∥平面CDEF． （2）以EA，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MNF与平面CDEF所成的锐二面角的大小． 【解答】证明：（1）由三视图知， 该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF， 且AB=BC=BF=4，DE=CF=4，∠CBF=90°， 连结BE，M在BE上，连结CE EM=BM，CN=BN，所以MN∥CE，CE?面CDEF，MN?面CDEF， 所以MN∥平面CDEF． （2）以EA，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，4），D（0，0，4）， E（﹣4，0，0），F（﹣4，4，0），N（﹣2，2，0），M（0，4，2）， =（﹣2，2，﹣2），=（﹣4，4，﹣2），=（0，4，0），=（﹣4，0，﹣4）， 设面MNF法向量为=（x，y，z）， 则，取x=1，得=（1，1，0）， 设平面CDEF的法向量=（a，b，c）， 则，取a=1，得=（1，0，﹣1）， 设平面MNF与平面CDEF所成的锐二面角为θ， 则cosθ==， θ=60°， ∴平面MNF与平面CDEF所成的锐二面角的大小为60°． 19. 记数列{an}的前n项和为Sn，已知，．设． （Ⅰ）证明：数列{bn}为等比数列； （Ⅱ）设，Tn为数列{cn}的前n项和，求． 参考答案： （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1994 【分析】 （Ⅰ）根据与的关系，得，即可证明； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，去绝对值号可化为分段函数，根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】（Ⅰ）由得 两式相减得，∴ ， 又由， ∴， ∴， ∴数列是以2为首项以2为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ∴ 【点睛】本题主要考查了与的关系，等比数列的证明，等比数列求和公式、通项公式，属于中档题. 20. 已知，其中，，且，若相邻两对称轴间的距离不小于。    （1）求的取值范围.    （2）在中，、、分别是角、、的对边，，，当最大时，,求的面积. 参考答案：                 对称轴为，   ∴  （1）由得    得                  （2）由（1）知    ∴ ∵    ∴  ∵    ∴                          由得    ∴ 略 21. （本小题满分12分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):   轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. (Ⅰ) 求z的值；      (Ⅱ) 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率； (Ⅲ) 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,  8.6, 9.2, 9.6,  8.7,  9.3,  9.0,  8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 参考答案： 22. （12分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax． （I）若函数f（x）在x=3处取得极值，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）若a＞，函数y=f（x）在[0，2a]上的最小值是﹣a2，求a的值． 参考答案： 见解析 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据3是函数y=f（x）的极值点，得到关于a的方程，解出a，求出f（x）的解析式，从而求出切线方程即可； （Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数f（x）的最小值，求出对应的a的值即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax， ∴f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a， ∵3是函数y=f（x）的极值点， ∴f′（3）=0，即6×32﹣6（a+1）×3+6a=0， 解得：a=3， ∴f（x）=2x3﹣12x2+18x， f′（x）=6x2﹣24x+18， 则f（0）=0，f′（0）=18， ∴y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程是：y=18x； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a， ∴f′（x）=6（x﹣1）（x﹣a）， ①a=1时，f′（x）=6（x﹣1）2≥0， ∴f（x）min=f（0）=0≠﹣a2， 故a=1不合题意； ②a＞1时，令f′（x）＞0，则x＞a或x＜1， 令f′（x）＜0，则1＜x＜a， ∴f（x）在[0，1]递增，在[1，a]递减，在[a，2a]递增， ∴f（x）在[0，2a]上的最小值是f（0）或f（a）， ∵f（0）=0≠﹣a2，由f（a）=2a3﹣3（a+1）a2+6a2=﹣a2， 解得：a=4； ③＜a＜1时，令f′（x）＞0，则有x＞1或x＜a， 令f′（x）＜0，则a＜x＜1， ∴f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减，在[1，2a]递增， ∴f（x）min=f（1）=2﹣3（a+1）+6a=﹣a2， 解得：a=与＜a＜1矛盾， 综上，符合题意的a的值是4． 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的意义以及分类讨论思想，是一道中档题．