2022-2023学年山西省吕梁市罗峪镇中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年山西省吕梁市罗峪镇中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角的菱形，，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（   ） 正视图 侧视图 俯视图   （A）    （B）    （C）   （D） 参考答案： C  2. 已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则（    ） A．0         B． 2018      C. 4036        D．4037 参考答案： D 因为函数f(x)既是二次函数又是幂函数，所以 ， 因此 ， 因此 选D. 3. 函数的定义域为D,若对于任意,当时都有,则称函数在D上为非减函数,设函数在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①;②;③,则等于      (    ) A.      B.      C.1       D. 参考答案： B 略 4. 已知双曲线的左右两个焦点分别为F1和F2，若其右支上存在一点P满足，使得△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为 A. 　　 B.       C.2　   D. 3 参考答案： B 　由双曲线可知，从而.故选B. 5. 如图，偶函数f（x）的图象如字母M，奇函数g（x）的图象如字母N，若方程f（g（x））=0，g（f（x））=0的实根个数分别为m、n，则m+n=（　　） A．12 B．18 C．16 D．14 参考答案： B 【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】若方程f（g（x））=0，则g（x）=﹣，或g（x）=0，或g（x）=，进而可得m值；不妨仅g（x）的三个零点分别为﹣a，0，a（0＜a＜1），若g（f（x））=0，则f（x）=﹣a，或f（x）=0，或f（x）=a，进而得到n值 【解答】解：若方程f（g（x））=0，则g（x）=﹣，或g（x）=0，或g（x）=， 此时方程有9个解； 不妨仅g（x）的三个零点分别为﹣a，0，a（0＜a＜1） 若g（f（x））=0，则f（x）=﹣a，或f（x）=0，或f（x）=a， 此时方程有9个解； 即m=n=9， ∴m+n=18， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是数形结合思想，方程的根与函数零点之间的关系，难度中档． 　 6. .已知，若的必要条件是，则 之间的关系是 （A）       （B）        （C）         （D） 参考答案： A 略 7. 下列函数中，周期为，且在区间上单调递增的函数是 A.      B.     C.    D.   参考答案： C 由，所以函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，因此选C。 8. 已知函数，若将f（x）的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于原点对称，则φ=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由题意求得ω=4k+2，k∈Z，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得+φ=lπ，l∈Z，结合φ的范围，可得φ的值． 【解答】解：∵函数， ∴sinφ=﹣sin（ω?+φ），∴ω=4k+2，k∈Z． 将f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位后所得函数的解析式为y=sin（ωx++φ）的图象关于原点对称， ∴+φ=lπ，l∈Z，∵φ∈（0，）∴k=2，ω=10，此时，φ=， 故选：B． 9. 设抛物线的准线为，点在抛物线上，且在第一象限内，若圆与相切，在轴上截得的线段长为6，则圆的标准方程为（  ） A．          B．       C.          D． 参考答案： C 10. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 （A）   (B)    （C）   (D)     参考答案： B 本题主要考查了函数的单调性、奇偶性和函数图像的翻折变换，难度较小.选项A为奇函数，C、D在均为减函数，故选B.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列为一个等差数列，，则公差的值为     参考答案： 2或－2 12. _____________. 参考答案： 略 13. 已知正数数列{an}的前n项和Sn满足：Sn和2的等比中项等于an和2的等差中项，则a1=　 　，Sn=　     　． 参考答案： 2；2n2． 【考点】89：等比数列的前n项和． 【分析】由等差中项和等比中项可得=，平方可得Sn=，把n=1代入可得a1=2，还可得Sn﹣1=，又an=SnS﹣n﹣1，数列各项都是正数，可得an﹣an﹣1=4，可得数列为等差数列，可得前n项和公式． 【解答】解：由题意知=，平方可得Sn=，① ①由a1=S1得=，从而可解得a1=2． 又由①式得Sn﹣1=（n≥2）…② ①﹣②可得an=SnS﹣n﹣1=﹣（n≥2） 整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣4）=0 ∵数列{an}的各项都是正数， ∴an﹣an﹣1﹣4=0，即an﹣an﹣1=4． 故数列{an}是以2为首项4为公差的等差数列， ∴Sn=2n+=2n2． 当n=1时，S1=a1=2． 故Sn=2n2． 故答案是：2；2n2． 14. .命题：，的否定为          ． 参考答案： 15. 已知函数，下列命题是真命题的为                （  ） A.若，则.   B.函数在区间上是增函数. C.直线是函数的一条对称轴.  D.函数图象可由向右平移个单位得到. 参考答案： C 16. 已知点M（﹣2，2），点N（x，y）的坐标满足不等式组，则|MN|的取值范围是　　． 参考答案： 【考点】简单线性规划． 【分析】先画出满足不等式组的平面区域，然后分析平面区域的形状，求出|MN|取最大值，最小值即可得到结果． 【解答】解：不等式组对应的平面区域如图： 由图得，当点N（x，y）位于平面区域的原点时，|MN|取最大值2．由图形可知M（﹣2，2）到直线y﹣x=2距离最小， 此时|MN|= |MN|的取值范围[，2]． 故答案为：[，2]． 17. 设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点落在内的概率为     参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在平行四边形ABCM中，.，以AC为折痕将折起，使点M到点D的位置，且. （1）证明：CD⊥平面ABC； （2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且，求三棱锥体积. 参考答案： （1）见证明；（2） 【分析】 （1）由线面垂直的判定定理，可直接证明结论成立； （2）先取上一点，使，结合题中条件证明平面，用等体积法，根据即可求出结果. 【详解】解：（1）是平行四边形，且. ，又，所以平面， 又平面，， 又 ，所以平面； （2）取上一点，使， 因为，连结，则， 所以，由（1）可得平面；   ，   ， 所以， . 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及几何体的体积，熟记线面垂直的判定定理以及等体积法的灵活运用即可，属于常考题型. 19. 某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金、专业二等奖学金及专业三等奖学金，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次。图(1)是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图。   (Ⅰ)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数； (Ⅱ)若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2×2联表并判断是否有99.9％的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？ P() 0.01 0.05 0.010 0.005 0.001 k0 2.71 3.84 6.64 7.88 10.83 参考答案： 20. （本题满分15分）设函数，且为的极值点． (Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）； (Ⅱ)若恰有1解，求实数的取值范围． 参考答案： 解： 因为为的极值点，所以 所以且， ……………3分 （I）因为为的极大值点，所以 当时，；当时，；当时， 所以的递增区间为，；递减区间为．…………6分 II）若，则在上递减，在上递增 恰有1解,则，即,所以；…………9分 若，则， 因为，则 ，从而恰有一解； ……………12分 若，则 ，从而恰有一解；                       所以所求的范围为．   ……………15分 21.      已知数列的各项均为正整数，且， 设集合。 性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。 性质2 若记，且对于任意，，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。 性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列； （Ⅰ）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列； （Ⅱ）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。 （Ⅲ）若数列为阶完美数列，试写出集合，并求数列通项公式。 参考答案： 解：（Ⅰ）；                  为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列；        （Ⅱ）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有 ，即 ，其中，必有， 所以仅存在唯一一组（）使成立， 即数列为阶完备数列；                                    ，对，，则，因为，则，所以，即                       （Ⅲ）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（Ⅱ）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为 。                                            略 22. 已知,不等式的解集为. (1) 求; (2) 当时,证明: 参考答案： （1），原不等式等价于 ，                                            （2’） 解得                                     （4’） 不等式的解集是；                                                    （5’） （2）                                   （8’）                                    （10’）