湖南省郴州市岭秀苗圃希望学校高二数学理下学期期末试题含解析

湖南省郴州市岭秀苗圃希望学校高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 双曲线的虚轴长是（　　） A．2 B． C． D．8 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得b的值，进而由虚轴长为2b，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为， 则其中b==2， 则虚轴的长2b=4； 故选：B． 2. 已知为等比数列，是它的前项和。若，且与2的等差中项为， 则等于   A. 31         B. 32           C.  33           D. 34 参考答案： A 略 3. 已知抛物线：的焦点为，以为圆心的圆交于，交的准线于，若四边形是矩形，则圆的方程为 A.          B.     C.          D. 参考答案： B 略 4. 下列命题中，是真命题的个数：（   ） （１）且是的充要条件； （２）命题“若，则”的逆命题与逆否命题； （３）命题“若，则”的否命题与逆否命题； （４），使。 A．0个       B.1个         C.2个          D.3个 参考答案： B 略 5. 下列关于随机抽样的说法不正确的是（     ） A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样 B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等 C．有2008个零件，先用随机数表法剔除8个，再用系统抽样方法抽取抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为 D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样 参考答案： C 略 6. “λ＜1”是“数列an=n2﹣2λn为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据数列的单调性以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：an=n2﹣2λn的对称轴为n=λ，当λ＜1时，an=n2﹣2λn在[1，+∞）上是增函数，则数列an=n2﹣2λn为递增数列，即充分性成立， 若数列an=n2﹣2λn为递增数列，则满足对称轴λ＜，则λ＜1不成立，即必要性不成立， 则“λ＜1”是“数列an=n2﹣2λn为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A 7. 某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：   初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 380 男生 377 370 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取（     ）名？ A．10　     　B．12　     　C．14　　　D．与和的值有关 参考答案： B 8. 函数的大致图象为（   ） A．         B． C．          D． 参考答案： A ，解得 函数定义域为关于原点对称. 函数在定义域上为偶函数，排除C和D. 当时，，排除B. 故选A.   9. 设f(x)=sinx+cosx，那么(　　) A. f′(x)= cosx－sinx               B. f′(x)= cosx+sinx C．f′(x)= －cosx+sinx           D．f′(x)=－cosx－sinx 参考答案： A 10. 已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于(　　)． A．1        B．2        C．0        D. 参考答案： 考点：1二次函数的单调性；2用导数研究函数的单调性。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式的解集为               ． 参考答案： 略 12. 以为中点的抛物线的弦所在直线方程为             ． 参考答案： 略 13. 设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果△是直角三角形，则双曲线的离心率________． 参考答案： 略 14. 用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边计算所得的项是          ． 参考答案： 用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.   15. 不论为什么实数，直线都通过一定点 　　　　　   参考答案： 16. 双曲线的实轴端点为M，N，不同于M，N的点P在此双曲线上，那么PM，PN的斜率之积为           . 参考答案： 17. 若与为非零向量，，则与的夹角为　　． 参考答案： 【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模． 【专题】平面向量及应用． 【分析】利用模的计算公式和数量积即可得出． 【解答】解：∵，∴， ∴=，∴． ∵与为非零向量，∴． ∴与的夹角为． 故答案为． 【点评】熟练掌握模的计算公式和数量积是解题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在边长为2的菱形中，，是和的中点。（Ⅰ）求证：平面 ; （Ⅱ）若,求与平面所成角的正弦值。   参考答案： (Ⅰ)证明:∵ 是和的中点. ∴EF//PB………………………………………2 又∵EF平面PBC,PB平面PBC……………4 ∴平面 ;………………………….5 边长为2菱形中，∴ABC为正三角形, 又AH⊥BC ∴H为BC中点,AH=,……………………………10 故与平面所成的角的正弦值为………………13 19. 已知是边长为的正方形ABCD的中心，点E、F分别是AD、BC的中点，沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B； （Ⅰ）求∠EOF的大小；       （Ⅱ）求二面角E-OF-A的余弦值；         （Ⅲ）求点D到面EOF的距离.   参考答案： 解（Ⅰ）以O点为原点，以的方向为轴的正方向，建立如图所示的坐标系，则，，，， ，      （Ⅱ）设平面EOF的法向量为，则 ，即，令，则， 得， 又平面FOA的法向量 为 ，， 二面角E-OF-A的余弦值为.                             （Ⅲ）， ∴点D到平面EOF的距离为.   20. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，是的中点. （1）证明：面面； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）求二面角的余弦值. 参考答案： （1）详见解析；（2）；（3）. 试题分析：(1)根据面面垂直的判定定理，要证明面面垂直，先证明线面垂直，根据垂直关系，可证明平面；（2）几何法求异面直线所成的角，通过平移直线，将异面直线转化为相交直线所成的角，取中点，中点，连结，则，长至点，使得，连结，则，所以或其补角为直线与所成的角，在三角形内，根据余弦定理求角；（3）因为H和全等，过点作，连结，所以，故为二面角的平面角，同样根据余弦定理求解；或是根据向量法求后两问. 试题解析：（1）因为且，所以 因为面，所以， 而，所以面，又面，所以面面 方法一：（2）取中点，中点，连结，则，且。延长至点，使得，连结，则，且，所以或其补角为直线与所成的角。易得，，，所以，故所求直线与所成角的余弦值为 （3）过点作，连结，因为，，是和公共边，所以，故为二面角的平面角，易得，而，所以，所以所以所求的二面角的余弦值为。   方法二：（2）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，,,, 则，于是，，故，故所求直线与所成角的余弦值为 （3）由（2）知，，， 设面的一个法向量为，由且，得，则，取，则，故 设面的一个法向量为，由且，得，则，取，则，故 所以 由图可知，此二面角为钝二面角，所以所求的二面角的余弦值为 考点：1.线线，线面，面面垂直关系；2.异面直线所成角；3.二面角. 21. (本小题满分12分)设A、B、C、D是不共面的四点，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若四边形EFGH的面积为，求异面直线AB、CD所成的角。 参考答案： ∵E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点， ∴EF∥AB，FG∥CD， ∠EFG即为异面直线AB、CD所成的角或其补角。 且EF＝AB＝，FG＝CD＝， 依题意得，四边形EFGH的面积 ＝EF·FG∠EFG＝·∠EFG＝ ∴∠EFG＝，∴∠EFG＝或 ∵异面直线AB、CD所成的角为锐角或直角， ∴异面直线AB、CD所成的角为。 22. 如图是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意点，、分别是与的中点. 求证：（1）平面；（2）平面平面. 参考答案： （1）见详解（2）见详解 【分析】 （1）由、分别是与的中点可知，平面，平面，即可证明. （2）由垂直于所在的平面，可知，由是的直径且是圆周上不同于，的任意点，可知，则平面，由平面，即可证明. 【详解】（1）、分别是与的中点 又平面，平面 平面 （2）垂直于所在的平面，包含于所在的平面 又是的直径且是圆周上不同于，的任意点 即 又，平面，平面 平面 又平面 平面平面 【点睛】本题考查线面平行与面面垂直，属于中档题.