辽宁省沈阳市第七十四中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析

辽宁省沈阳市第七十四中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（　　） A．50米 B．25米 C．25米 D．50米 参考答案： A 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】设AB=am，则BC=am，BD=am，根据∠CBD=30°，CD=50米，利用余弦定理建立方程，即可得出结论． 【解答】解：设AB=am，则BC=am，BD=am， ∵∠CBD=30°，CD=50米， ∴2500=a2+3a2﹣2a， ∴a=50m． 故选A． 　 2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k ， －2)与F点的距离为4，则k的值是(　　) A.4  B.4或－4  C.－2  D.2或－2 参考答案： B 由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．则抛物线的准线方程为y＝，由抛物线的定义知|PF|＝－(－2)＝＋2＝4， 所以p＝4，抛物线方程为x2＝－8y，将y＝－2代入，得x2＝16，∴k＝x＝±4   3. 下面四个推理中，属于演绎推理的是（　　） A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43 B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数 C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8 D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应 参考答案： D 【考点】F7：进行简单的演绎推理． 【分析】分别判断各选项，即可得出结论． 【解答】解：选项A、B都是归纳推理，选项C为类比推理，选项D为演绎推理． 故选D． 4. 命题“若，则”的逆否命题是                      （     ） A．若或 ，则        B．若，则       C． 若 则 或       D．若， 则或 参考答案： D 略 5. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在C北偏东300，B在C南偏东600，则A、B之间相距： A、akm             B、akm       C、akm       D、2akm 参考答案： C 略 6. 一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．2 B． C． D． 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】几何体为四棱锥，底面正方形的对角线为2，棱锥的高为1，带入体积公式计算即可． 【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的高为1，棱锥底面正方形的对角线为2， ∴棱锥底面正方形的边长为． ∴V==． 故选C． 7. 函数   （  ）    A．既有最大值 ，又有最小值       B．无最大值，但有最小值      C．有最大值  ，但无最小值          D．既无最大值，又无最小值 参考答案： A 8. 直线m、n均不在平面内，给出下列命题：    ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； 其中正确命题的个数是（     ） A、1   B、2    C、3    D、4  参考答案： D 略 9. 设f ′(x)是函数f(x)的导函数，= f ′(x)的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是(    ) 参考答案： C 10. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 A.            B. C.            D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间为________． 参考答案： (0,1) 12. 下列六个命题： ①是函数；②函数在区间上递减； ③函数的图象是一条直线；④是的充分不必要条件； ⑤若是虚数，则； ⑥若函数的值域是，则它的定义域一定是。 其中正确命题的序号是           参考答案： ②④ 13. 若圆锥的侧面展开图是弧长为cm、半径为cm的扇形，则该圆锥的体积 为           . 参考答案： 14. 计算定积分___________。 参考答案： 略 15. 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的 正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则该几何体的表面积为         .                                           参考答案： 6π 16. 已知圆方程为：，圆的方程为：，动圆M与外切且与内切，则动圆圆心M的轨迹方程是_________________ 参考答案： 17. 定义：关于的两个不等式和的解集分别为和， 则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与 不等式为对偶不等式，且， 则             . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求： （Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小； （Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小； （Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离． 参考答案：   19. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B． （1）求线段AB的中点M的轨迹C的方程； （2）是否存在实数，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程． 【分析】（1）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论； （2）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论． 【解答】解：（1）设M（x，y）， ∵点M为弦AB中点即C1M⊥AB， ∴即， ∴线段AB的中点M的轨迹的方程为； （2）由（1）知点M的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧EF（如图所示，不包括两端点），且，，又直线L：y=k（x﹣4）过定点D（4，0）， 当直线L与圆C相切时，由得，又， 结合上图可知当时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点． 20. （本小题满分12分） 四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SO⊥底面ABCD，O在CB上．已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝，SA＝SB， (I)求证：平面平面 (II)求四棱锥S－ABCD的体积 (III)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值． 参考答案： (I) , 又SO⊥底面ABCD 平面平面………………3分 (II) , 由三面角余弦公式 , 又,所以 又因为BC＝，所以为的中点， ……………..7分 (III)连接OA，由（II）可知分别以OA,OB,OS为轴建立空间直角坐标系 则点 容易得平面SAB的法向量， ………………………..12分 21. （16分）已知函数，. (1)当时，若上单调递减，求a的取值范围； (2)求满足下列条件的所有整数对：存在，使得的最大值，的最小值； (3)对满足(2)中的条件的整数对，试构造一个定义在且上的函数：使，且当时，. 参考答案： (1)当时，， 若，，则在上单调递减，符合题意； 若，要使在上单调递减， 必须满足 ∴．综上所述，a的取值范围是 (2)若，，则无最大值， 故，∴为二次函数，                        要使有最大值，必须满足即且， 此时，时，有最大值．        又取最小值时，，                           依题意，有，则， ∵且，∴，得，此时或． ∴满足条件的整数对是. (3)当整数对是时， ，是以2为周期的周期函数，    又当时，,构造如下：当，则， ， 故 22. 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 （1）求角C的大小： （2）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。 参考答案： （1）由及正弦定理得， 是锐角三角形， （2）由面积公式得 由余弦定理得 由②变形得