辽宁省丹东市青城子镇中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析

辽宁省丹东市青城子镇中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是           （    ） （A）    （B）         （C）   （D）  参考答案： D 略 2. 数列{an}的通项公式是a n =(n∈N*)，则前8项和等于 (    ) A.              B.               C.           D.  参考答案： C 略 3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 参考答案： A 设导函数在内的图像与轴的交点（自左向右）分别为，，，， 其中， 则由导函数的图像可得： 当时，， 时，且， 所以是函数的极大值点； 当时，， 时，且， 所以是函数的极小值点， 当或时，， 故不是函数的极值点； 当时，， 而当时，，且， 所以是函数的极大值点， 综上可知：在内有个极小值点， 故选． 4. 函数与函数的图象关于（   ） A．轴对称    B．轴对称     C．直线对称      D．原点对称 参考答案： D 略 5. “所有9的倍数都是3的倍数.某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理 A. 完全正确 B. 推理形式不正确 C. 错误，因为大小前提不一致 D. 错误，因为大前提错误 参考答案： A 【分析】 根据三段论定义即可得到答案. 【详解】根据题意，符合逻辑推理三段论，于是完全正确，故选A. 【点睛】本题主要考查逻辑推理，难度不大. 6. 函数y＝f（x）在定义域（－，3）内的图像如图所示．记y＝f（x）的导函数为y＝f￠（x），则不等式f￠（x）≤0的解集为 参考答案： A 7. 空间直角坐标系中已知点P（0，0，）和点C（﹣1，2，0），则在y上到P，C的距离相等的点M的坐标是（　　） A．（0，1，0） B．（0，，0） C．（0，﹣，0） D．（0，2，0） 参考答案： B 【考点】空间两点间的距离公式． 【分析】根据题意，设出点M的坐标，利用|MP|=|MC|，求出M的坐标． 【解答】解：根据题意，设点M（0，y，0）， ∵|MP|=|MC|， ∴02+y2+=12+（y﹣2）2+02， 即y2+3=1+y2﹣4y+4， ∴4y=2， 解得y=， ∴点M（0，，0）． 故选：B． 　 8. 下列各项中，与sin(-3310)最接近的数是 A．      B．      C．      D． 参考答案： C 略 9. 命题“对，有”的否定形式是（   ） A.对，有           B.，使得 C.，使得               D.不存在，使得 参考答案： B 略 10. 程序框图如图所示，则该程序框图运行后输出的S是(  ) A.      B.-3      C.2      D. 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设定义域为R的函数f(x)满足，则不等式的解集为__________． 参考答案： (1,+∞) 【分析】 根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论． 【详解】设F（x）， 则F′（x）， ∵， ∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增． ∵ ∴，即F（x）＜F（2x） ∴，即x＞1 ∴不等式的解为 故答案为 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 12. 已知函数，其导函数为，则 参考答案： 2 略 13. 设等差数列的前项和为，且，则 . 参考答案： 略 14. 抛物线y=2x2的焦点坐标是　　． 参考答案： （0，） 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】先将方程化成标准形式，即，求出 p=，即可得到焦点坐标． 【解答】解：抛物线y=2x2的方程即  x2=y，∴p=，故焦点坐标为 （0，）， 故答案为：（0，）． 【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线y=2x2的方程化为标准形式，是解题的突破口． 15. 如图矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为120颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为　   　． 参考答案： 6 【考点】几何概型． 【分析】先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解． 【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是 矩形的面积为10，设阴影部分的面积为S 则有 ∴S=6． 故答案为：6． 16. 如图，平面四边形ABCD中，，，则的面积S为__________． 参考答案： 分析：首先求得BD的长度，然后结合余弦定理求得∠ADB的值，最后利用面积公式求解△ACD的面积即可. 详解：在△BCD中，由，可得∠CDB=30°， 据此可知：，由余弦定理可得： ， 在△ABD中，由余弦定理可得： ， 故， 结合三角形面积公式有： . 点睛：本题主要考查余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17. 对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：       根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是91，则的值为      ． 参考答案： 10 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…. （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明． 参考答案： (1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－， 19. 已知函数f（x）满足对一切x1，x2∈R都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣4，且f（2）=0，当x＞2时有f（x）＜0． （1）求f（﹣2）的值； （2）判断并证明函数f（x）在R上的单调性． 参考答案： 考点：抽象函数及其应用． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：（1）利用赋值法，先令x1=x2=0，代入恒等式可得f（0）=2f（0）﹣4，求求得f（0），再令x1=1，x2=﹣1，代入可得f（0）=f（2）+f（﹣2）﹣4，计算即可得答案； （2）先利用赋值法证明x＞0时，f（x）＜2，只需证明0＜x＜1时，f（x）＜2，再利用函数单调性定义证明函数f（x）的单调性． 解答： 解：（1）根据题意，在f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣4中， 令x1=x2=0可得：f（0）=2f（0）﹣4，则f（0）=4， 再令x1=﹣2，x2=2可得：f（0）=f（2）+f（﹣2）﹣4，则f（﹣2）=f（0）﹣f（2）+4=8， 则f（﹣2）=8， （2）f（x）在R上单调递减， 证明：设0＜x＜2，则x+2＞2，则有f（x+2）=f（x）+f（2）﹣2=f（x）﹣2＜0 则0＜x＜2时，f（x）＜2， 又∵当x＞2时有f（x）＜0，f（1）=0 综合可得x＞0时，f（x）＜2， 设?x1＜x2∈R，且x2﹣x1=t＞0 则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）﹣f（x1+t）=f（x1）﹣f（x1）﹣f（t）+2=2﹣f（t） ∵t＞0，∴f（t）＜2，∴2﹣f（t）＞0 ∴f（x1）＞f（x2） ∴函数f（x）在R上为单调递减函数． 点评：本题考查抽象函数的应用，关键是根据题意所给的关系式，利用赋值法求出要求的值或利用定义函数的单调性． 20. (本小题满分14分)已知函数，曲线在点处的切线为， （1）求的值； （2）求的极值． 参考答案： （1）由, 得 当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a-4=0                                          ① 解得a=2 （2）由（1）可得 令=0,得x=-2,x=. 当x变化时，y,y′的取值及变化如下表： x   -2   y′   + 0 - 0 +   y   单调递增 ↗ 13 单调递减 ↘ 单调递增 ↗   ∴y=f（x）极大值为13，极小值为 21. 设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点． （1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率； （2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞． 参考答案： 【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质． 【分析】（1）设P（x0，y0），则，利用直线AP与BP的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率； （2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则，进一步可得，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得，从而可求直线OP的斜率的范围． 【解答】（1）解：设P（x0，y0），∴① ∵椭圆的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0） ∴， ∵直线AP与BP的斜率之积为，∴ 代入①并整理得 ∵y0≠0，∴a2=2b2 ∴ ∴ ∴椭圆的离心率为； （2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴ ∵a＞b＞0，kx0≠0，∴ ∴② ∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0）， ∴ ∴ ∴ 代入②得 ∴k2＞3 ∴直线OP的斜率k满足|k|＞． 22. 已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点． （1）当l经过圆心C时，求直线l的方程； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程； （3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长． 参考答案： 【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程． 【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程； （2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程； （3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长． 【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0． （2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0． （3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0． 圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．