广东省湛江市廉江第五中学高三数学理下学期期末试题含解析

广东省湛江市廉江第五中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等比数列中，“”是“”的 A.充而不必要条件            B.必要而不充分条件      C.充要条件              D.既不充分又不必要条件 参考答案： D 2. 若正数x，y满足x 2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是（   ） A．      B．      C．       D． 参考答案： B 3. 已知集合,,则(   ) A． B． C． D． 参考答案： C 试题分析：因为，所以，故选C． 考点：集合的交集运算． 4. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若、的图象都经过点，则的值可以是 A． B． C． D． 参考答案： B 5. 已知f (x )是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f (x ) = x2 + 2x，设a = f ()，b = f ()，c = f ()，则（   ） A．a＜b＜c     B．b＜a＜c      C．c＜b＜a       D．c＜a＜b 参考答案： 答案：A  6. 已知变量满足约束条件则的最大值为   (A) (B)         (C)            (D) 参考答案：  答案：B 解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点为       验证知在点时取得最大值2. 7. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（     ） A． B． C．           D． 参考答案： C 略 8. 设函数则 （A）（B）（C）（D） 参考答案： D ，所以，选D. 9. 设函数，其中表示不超过的最大整数,如，，，若直线与函数的图象恰有两个不同的交点,则的取值范围是 （ ☆ ） A.          B.          C.           D. 参考答案： D 10. 如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120°的等腰三角形，若过该圆锥顶点S的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为 A. B. C. D. 4 参考答案： B 【分析】 过该圆锥顶点S的截面三角形面积最大是直角三角形，根据面积为2求出圆锥的母线长，再根据正视图求圆锥底面圆的半径，最后根据扇形面积公式求圆锥的侧面积. 【详解】过该圆锥顶点S的截面三角形面积最直角三角形， 设圆锥的母线长和底面圆的半径分别为， 则，即， 又， 所以圆锥的侧面积； 故选B. 【点睛】本题考查三视图及圆锥有关计算，此题主要难点在于判断何时截面三角形面积最大，要结合三角形的面积公式，当，即截面是等腰直角三角时面积最大. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知x5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5，则a4=　　． 参考答案： ﹣5 【考点】二项式系数的性质． 【分析】将x5转化[（x+1）﹣1]5，利用二项式定理展开，使之与f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5进行比较可得所求． 【解答】解：x5=[（x+1）﹣1]5 =（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3（﹣1）2 +（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5 而x5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5， 所以a4=×（﹣1）=﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是利用x5=[（x+1）﹣1]5展开，是基础题目． 12. 已知正数数列{an}的前n项和Sn满足：Sn和2的等比中项等于an和2的等差中项，则a1=　 　，Sn=　     　． 参考答案： 2；2n2． 【考点】89：等比数列的前n项和． 【分析】由等差中项和等比中项可得=，平方可得Sn=，把n=1代入可得a1=2，还可得Sn﹣1=，又an=SnS﹣n﹣1，数列各项都是正数，可得an﹣an﹣1=4，可得数列为等差数列，可得前n项和公式． 【解答】解：由题意知=，平方可得Sn=，① ①由a1=S1得=，从而可解得a1=2． 又由①式得Sn﹣1=（n≥2）…② ①﹣②可得an=SnS﹣n﹣1=﹣（n≥2） 整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣4）=0 ∵数列{an}的各项都是正数， ∴an﹣an﹣1﹣4=0，即an﹣an﹣1=4． 故数列{an}是以2为首项4为公差的等差数列， ∴Sn=2n+=2n2． 当n=1时，S1=a1=2． 故Sn=2n2． 故答案是：2；2n2． 13. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为          ． 参考答案： 其中， 由题意将函数向右平移个单位长度，得到 其中， 则，.   14. 在平面直角坐标系中，若点到直线的距离为，且点在不等式表示的平面区域内，则          .   参考答案： 6 略 15. 对任意两个非零的平面向量和，定义°=，若平面向量和满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且°和°都在集合{|n∈Z}中，则°=　     　． 参考答案： 1或 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可得°==，n∈Z，°=cosθ=，m∈Z，且n≥m 且 m、n∈z．根据cos2θ∈（，1），即∈（，1），可得n和m的值；可得 °= 的值． 【解答】解：任意两个非零的平面向量和，定义°=，若平面向量和满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，）， 且°和°都在集合{|n∈Z}中， 则°====，n∈Z， °===cosθ=，m∈Z， ∵||≥||＞0，∴n≥m 且 m、n∈z． ∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈（0，），可得cos2θ∈（，1），即∈（，1）． ∴n=2，m=1；或n=3，m=1，∴°==1；或  °==， 故答案为：1或． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m 且m、n∈z，且∈（，1），是解题的关键，属于中档题． 16. 若复数满足，则的最大值是        参考答案： 2 结合几何意义，单位圆上的点到的距离，最大值为2 17. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是            . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点. (Ⅰ)求的取值范围； (Ⅱ)记两个极值点分别为，，且.已知,若不等式恒成立,求的范围. 参考答案： 见解析 考点：导数的综合运用 解：(Ⅰ)函数的定义域为， 所以方程在有两个不同根． 即，方程在有两个不同根．…1分 转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点， 可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须． 令切点，所以，又，所以， 解得，，于是，所以． （Ⅱ）因为等价于． 由（Ⅰ）可知分别是方程的两个根，即， 所以原式等价于， 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即． 所以原式等价于， 因为，原式恒成立，即恒成立．令，， 则不等式在上恒成立． 令，又， 当时，可见时，，所以在上单调增，又， 在恒成立，符合题意． 当时，可见时，，时， 所以在时单调增，在时单调减，又， 所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 19. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.    (1)求数列的通项公式;    (2)若,,数列的前项和为,求的取值范围. 参考答案： (1)当时,,解得  ……………1分       当时,……①        ……②  ……………3分 ②-①得   即   ……………5分 数列是以2为首项,2为公比的等比数列          ……………6分 (2)   ……………7分       ……………8分    =   ……………10分              ……………12分 略 20. 设函数 （1）若函数f(x)有最大值，求a的取值范围； （2）若a=1，求不等式f(x)＞|2x-3|的解集 参考答案： （1）,………………………2分 ∵f(x)有最大值，∴1-a≥0且1+a≤0,…………………4分 解得a≤-1.最大值为f(2)=2       ……………5分 （2）即|x-2|-|2x-3|+x>0. 设g(x)= |x-2|-|2x-3|+x=,  …………7分 由g(x)>0解得x>.原不等式的解集为{x|x>}.    ………………………10分 21.         在如图所示的几何体中， 四边形为正方形，四边形为直角梯形，且平面平面 . （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若二面角为直二面角， （i）求直线与平面所成角的大小； （ii）棱上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 见解析 【考点】立体几何综合证明：（Ⅰ）连结，设， 因为四边形为正方形， 所以为中点． 设为的中点，连结， 则，且． 由已知，且， 所以． 所以四边形为平行四边形． 所以，即． 因为平面，平面， 所以//平面． （Ⅱ）由已知，， 所以． 因为二面角为直二面角， 所以平面平面． 所以平面， 所以． 四边形为正方形，所以． 所以两两垂直． 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为， 所以， 所以． （i）设平面的一个法向量为， 由得即 取，得． 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以． 即直线与平面所成角的大小为． （ii）假设棱上存在点，使得平面． 设，则． 设，则， 因为，所以． 所以，所以点坐标为． 因为，所以． 又，所以 解得． 因为，所以上存在点，使得平面，且． （另解）假设棱上存在点，使得平面． 设，则． 设，则， 因为，所以． 所以，所以点坐标为． 因为，所以． 设平面的一个法向量为， 则 由， 得 取，得． 由，即， 可得 解得． 因为，所以上存在点，使得平面，且． 22. （本小题满分12分） 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。 参考答案： 解：方案1： ①需要测量的数据有： 的之间距离 点到的俯角 点到的俯角 ②第一步：计算，由正弦定理， 第二步：计算，由正弦定理， ks5u 第三步：计算，由余弦定理， 方案2：①需要测量的数据有：的之间距离 点到的俯角 点到的俯角 ②第一步：计算，由正弦定理， 第二步：计算，由正弦定理， 第三步： 计算，由余弦定理，