2022-2023学年辽宁省沈阳市第一0九中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市第一0九中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 梯形 参考答案： A 【分析】 首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可. 【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体， 很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形. 故选：A.   2. 设集合,，若，则实数的值为 A.         B.             C.            D.   参考答案： C 略 3. 设，，则“”是“”则（     ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件  D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 4. 若函数为奇函数，则的值为        （     ） A．           B．     C．          D． 参考答案： A 5. 如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（　　） 　 A．（） B． （1，2） C． （，1） D． （2，3） 参考答案： 考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间． 解答： 解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1， 而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增， g（）=ln+1+a＜0， g（1）=ln1+2+a=2+a＞0， ∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）； 故选C． 点评： 本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题． 6. 已知数列的前9项和S9= A．—2     B．0 C．4 D．6 参考答案： B 因为，所以数列为等差数列，由得，所以，所以 选B． 7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（   ） A．                      B．160                    C．                 D． 参考答案： A 考点：1、几何体的三视图；2、几何体的体积. 【方法点睛】本题主要考查三视图及空间几何体的体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体椎体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解. (3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 8. 若函数在上的最大值为M，最小值为m，则M-m= A.   B. 2   C.   D. 参考答案： A 9. 设变量x，y满足：的最大值为（    ）        A．8                           B．3       C．                       D．                          参考答案： A 10. 设函数f（x）=8lnx+15x﹣x2，数列{an}满足an=f（n），n∈N+，数列{an}的前n项和Sn最大时，n=（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 参考答案： B 【考点】数列的求和． 【分析】求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再计算f（1），f（8），f（16），f（17）的符号，即可得到所求数列{an}的前n项和Sn最大时，n的值． 【解答】解：函数f（x）=8lnx+15x﹣x2，x＞0 导数为f′（x）=+15﹣2x= =， 当x＞8时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜8时，f′（x）＞0，f（x）递增， 可得x=8处f（x）取得极大值，且为最大值，f（8）=8ln8+120﹣64＞0， 由an=f（n），n∈N+，可得f（1）=15﹣1=14＞0， f（16）=8ln16+15×16﹣162=8ln16﹣16＞0， f（17）=8ln17+15×17﹣172=8ln17﹣34＜0， 由单调性可得a1，a2，…，a16都大于0，a17＜0， 则数列{an}的前n项和Sn最大时，n=16． 故选：B． 【点评】本题考查数列前n项和的最值，注意运用导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在如图所示的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数取得最小值的最优解有无数个，则的值为          ． 参考答案： -1     12. 若过点（0,2）的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是______. 参考答案： 考点：直线与圆的位置关系． 13. 已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x),则f()=　　　　,f(x)的最小正周期为　　　　,f(x)的最小值为　　　　.  参考答案： 1，π　. 本题主要考查三角恒等变换、三角函数求值、三角函数的图象与性质等知识,意在考查考生的运算求解能力. f()=cos(sin+cos)=+)=1.因为f(x)=cos x(sin x+cos x)=sin xcos x+cos2 x=sin 2x+ (sin 2x+cos 2x)+sin(2x+)+,所以f(x)的最小正周期为π,f(x)的最小值为-+. 14. 已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按l～40编号，并按编号顺序平均分成5组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．        （I）若第1组抽出的号码为2，则听有被抽出职工的号码为           ；        （Ⅱ）分别统计这5名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图           如图所示，则该样本的方差为              ． 参考答案： （Ⅰ） 2,10,18,26,34；（Ⅱ） 62   略 15. 已知i 2 = – 1，在集合{ s | s = 1 + i + i 2 + i 3 + … + i n，n ∈ N }中包含的元素是        。 参考答案： 0，1，1 + i，i； 16. 甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图，则平均分数较高的是         ，成绩较为稳定的是           。   参考答案： 甲，甲 略 17. 已知数列{an}满足对时，，其对，有，则数列的前50项的和为          ． 参考答案：   2525 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （1）解不等式； （2）若，对，使成立，求实数m取值范围． 参考答案： (1)不等式等价于：或 所以，所以.....................6分 (2)，， ，当且仅当时取等号，所以，所以......................12分。 19. 已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n项和Sn． 参考答案： （I）设等比数列{an}的公比为q， ∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1， ∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，..................................2 ∴=2，.......................................3 ∴=2n﹣1，（n∈N*）．......................5 （Ⅱ）∵ ∴（2n﹣1+2n﹣1） =[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）..................................6 =+......................................10 =n2+2n﹣1．............................12 20. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A点移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上． （Ⅰ）求证：BC⊥A1D； （Ⅱ）求证：平面A1CD⊥平面A1BC； （Ⅲ）若AB=10，BC=6，求三棱锥A1﹣BCD的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（（I）证明BC⊥A1O．推出BC⊥平面A1CD．通过直线与平面垂直的性质定理证明BC⊥A1D． （II）证明A1D⊥A1B．推出A1D⊥平面A1BC．然后证明平面A1BC⊥平面A1CD． （III）利用，求出底面面积与高，即可求出几何体的体积． 【解答】（共14分） 解：（I）因为A1在平面BCD上的射影O在CD上， 所以A1O⊥平面BCD． 又BC?平面BCD， 所以BC⊥A1O． 又BC⊥CO，CO∩A1O=O，CO?平面A1CD，A1O?平面A1CD， 所以BC⊥平面A1CD． 又A1D?平面A1CD， 所以BC⊥A1D． （II）因为矩形ABCD， 所以A1D⊥A1B． 由（I）知BC⊥A1D． 又BC∩A1B=B，BC?平面A1BC，A1B?平面A1BC， 所以A1D⊥平面A1BC． 又A1D?平面A1CD， 所以平面A1BC⊥平面A1CD． （III）因为A1D⊥平面A1BC， 所以A1D⊥A1C． 因为CD=10，A1D=6，所以A1C=8． 所以．（14分） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质吗，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查逻辑推理以及计算能力． 21. （本小题满分12分）    如图，在多面体中，平面，，为正三角形，为的中点，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求多面体的体积． 参考答案： 【知识点】线面平行，几何体体积 G4 G8 （Ⅰ）略（Ⅱ） （Ⅰ）证明：作的中点，连结．       在中，，又据题意知，．       ∴，∴四边形为平行四边形．       ∴，又面，平面．   ∴面．………………………6分 （Ⅱ）据题意知，多面体为四棱锥．       过点作于．       ∵平面，平面，       ∴平面平面．       又，平面，平面平面，       ∴面．       ∴在四棱锥中，底面为直角梯形，高．       ∴．   ∴多面体的体积为．……………………………………………6分 【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很容易找出； （Ⅱ）求多面体的体积转化成四棱锥的体积，底面为直角梯形， 高很好求，所以利用锥体体积公式即可. 22. 在中， 分别为角的对边，且满足. (1)求角大小； (2)若，求的面积的最大值. 参考答案： 解：(1) ∴， ∴．    ………………………………………(4分) ，，．           ………………(6分)