山西省忻州市第十一中学2022-2023学年高一数学文上学期期末试卷含解析

山西省忻州市第十一中学2022-2023学年高一数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 因为在第二象限，所以，，代入即可。 【详解】在第二象限 又 故选：B 【点睛】此题考查余弦和差公式：，属于基础题目。 2. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．直角三角形            B．等腰三角形  C．等腰直角三角形    D．等腰三角形或直角三角形 参考答案： D  解析：， ，或 所以或 3. 要得到的图像，只需将函数的图像（   ） A．向左平移3个单位                  B．向右平移3个单位 C．向左平移2个单位                  D．向右平移2个单位 参考答案： D 4. 已知等边的边长为1，那么等于（ ） A.-3    B.3    C.   D.- 参考答案： C 5. 圆上的动点到直线的最小距离为（     ） A．          B．        C．          D． 参考答案： A 试题分析：由题意得，圆心为（2,2），半径r=1，由圆心到直线的最小距离公式可得 ，所以圆上动点到直线的最小距离为 ． 考点：考查圆上动点到直线的最小距离 . 6. 若函数y=f(x)的定义域是[2,4]，则y= f ()的定义域是（    ） A.[2,4] B. [4,16] C. [,1] D.[ , ] 参考答案： D 7. 已知数列{an}中，，，且，则的值为（    ） A. 2 B. 1 C. D. 参考答案： A 【分析】 由递推关系，结合，，可求得，，的值，可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，进而可求的值． 【详解】因为，由，，得； 由，，得； 由，，得； 由，，得； 由，，得； 由，，得 由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以，故选A． 【点睛】本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题． 8. 已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（　　　） A．（1，2）   B．（1，＋∞）     C．[2，＋∞）     D．[1，＋∞） 参考答案： A 9. 已知a、b、l表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，有下列四个命题：   ①若且则； ②若a、b相交，且都在外，，则； ③若，则； ④若则. 其中正确的是（     ） A．①②                             B．②③ C．①④                             D．③④ 参考答案： B 10. 已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为(　　) A．  B．π  C．  D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 点P(x,y)在直线x+y-4=0上，O是坐标原点，则│OP│的最小值是         . 参考答案： 2 略 12. 已知函数，若对任意，恒有，则的取值范围是        . 参考答案： (1,3)；       13. 已知是第二象限角，且，则的值是             ； 参考答案： 14. 设直线，圆，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得，则a的取值范围是______. 参考答案： 圆半径为,从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,所成的角最大,此时四边形为正方形,边长为,∴对角线,故圆心到直线的距离,∴有,求出. 点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 15. 设角 ，则的值等于           ． 参考答案： 略 16. 函数的图象为，则如下结论中正确的序号是                ① 图象关于直线对称； ② 图象关于点对称； ③ 函数在区间内是增函数.  参考答案： ①②③ 略 17. 已知，则    。 参考答案： 3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）已知函数f（x）=x+ （Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明； （Ⅱ）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数； （Ⅲ）函数f（x）在（﹣1，0）上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）． 参考答案： 考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 常规题型． 分析： （I）用函数奇偶性定义证明，要注意定义域．（II）先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号，（III）由函数图象判断即可． 解答： 证明：（I）函数为奇函数 （II）设x1，x2∈（0，1）且x1＜x2 = ∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0， ∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0． ∴f（x2）﹣f（x1）＜0，f（x2）＜f（x1） 因此函数f（x）在（0，1）上是减函数 （III）f（x）在（﹣1，0）上是减函数． 点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性定义，要注意奇偶性要先判断，单调性变形要到位． 19. 已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（log2x）=． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并证明f（x）在定义域 R的单调性； （3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明． 【分析】（1）由已知利用换元法求得函数解析式； （2）直接利用函数单调性的定义证明； （3）由（2）结合函数的奇偶性把不等式f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0恒成立转化为t2﹣2t＞k﹣3t2．分离k后求出函数4t2﹣2t的值域得答案． 【解答】解：（1）∵f（log2x）=，∴令t=log2x， 则x=2t，代入原式中：f（t）=，则f（x）=， 又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（0）=0，解得a=1． 则f（x）=； （2）由（1）知， 设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==． ∵函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2， ∴﹣＞0． 又（+1）（ +1）＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）． ∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数； （3）∵f（x）是奇函数， 从而不等式：f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（3t2﹣k）=f（k﹣3t2）， ∵f（x）为减函数，由上式推得：t2﹣2t＞k﹣3t2． 即对一切t∈[1，2]有：4t2﹣2t﹣k＞0，k＜4t2﹣2t， 当t=1时最小，则{k|k＜2}． 20. 已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）． （1）求证：BF∥面A1DE； （2）求证：面A1DE⊥面DEBC； （3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）取A1D中点G，并连接FG，EG，能够说明四边形BFGE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE； （2）先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形，然后取DE中点H，连接CH，从而得到A1H⊥DE，根据已知的边角值求出A1H，CH，得出，从而得到A1H⊥CH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC； （3）过H作HO⊥DC，垂足为O，并连接A1O，容易说明DC⊥面A1HO，从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角，能够求出HO，从而求出tan∠A1OH，即求出了二面角A1﹣DC﹣E的正切值． 【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE； F为A1C中点； ∴GF∥DC，且； ∴四边形BFGE是平行四边形； ∴BF∥EG，EG?平面A1DE，BF?平面A1DE； ∴BF∥平面A1DE； （2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH； AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点； ∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形； ∴A1H⊥DE，且； 在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°； 根据余弦定理，可得： HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4； ∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H； ∴A1H⊥面DEBC； 又A1H?面A1DE； ∴面A1DE⊥面DEBC； （3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O； A1H⊥面DEBC； ∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H； ∴DC⊥面A1HO； ∴DC⊥A1O，DC⊥HO； ∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角； 在Rt△A1HO中，，； 故tan； 所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2． 21. （10分）已知单位圆上两点P、Q关于直线对称，且射线为终边的角的大小为．另有两点、，且·． （1）当时，求的长及扇形OPQ的面积； （2）当点在上半圆上运动时，求函数的表达式； （3）若函数最大值为,求. 参考答案： 解：（1）时，的长为.           ……（1分）    扇形OPQ的面积 .   ……（2分） （2）P（cosx，sinx），Q（sinx ，cosx）. ，，  ……（3分） ，  其中x∈[0，π].           ……（5分） （3）＝2 sinx cosx－2a（sinx －cosx）－. 设t＝sinx －cosx＝，x∈[0，π]，则t∈[－1，]. ∴  f（x）＝－t2－2at－2a2＋1，t∈[－1，] .    ……（7分） ①当－≤a≤1,＝1－； ②当a＞1, ＝2a－； ③当a＜－,＝－1－2a－. 综上: .           ……（10分） 22. 已知向量，  且 A为锐角 （1）、求角 A的大小   （2）、求函数   的值域 参考答案： 解析：（1）、由得  ，又A为锐角，      （2）、由（1）知：        当时，有最大值     当时，有最小值。   的值域是