2022年浙江省宁波市余姚舜水中学高一数学理期末试卷含解析

2022年浙江省宁波市余姚舜水中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域是（ ） A.         B.                 C.                   D. 参考答案： D 2. 函数的值域是(     ) A.        B.        C.          D. 参考答案： C 3. 已知函数f（x）=，则f（log23）=（　　） A．6 B．3 C． D． 参考答案： A 【考点】函数的值． 【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】由函数性质得f（log23）=f（log23+1）=，由此能求出结果． 【解答】解：∵函数f（x）=， ∴f（log23）=f（log23+1）= =3×2=6． 故选：A． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 4. 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（    ）。   A、和    B、和    C、和    D、和 参考答案： C 5. 与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（　　） A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）=（）2 D．f（x）= 参考答案： B 【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数． 【解答】解：对于A，函数f（x）==|x|（x≠0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数； 对于B，函数f（x）==|x|（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于C，函数f（x）==x（x≥0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数； 对于D，函数f（x）==x（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数． 故选：B． 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目． 6. 已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（） A. －6 B. －3 C. －4 D. －2 参考答案： A 【分析】 建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】由题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 所以当时，取得最小值为， 故选A. 【点睛】 本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7. 已知函数f（x）=ex+x﹣5．，则f（x）的零点所在区间为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 参考答案： A 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】判断函数的单调性，利用f（1），f（2）函数值的符号，结合零点判定定理推出结果即可． 【解答】解：函数f（x）=ex+x﹣5，是增函数，因为f（1）=e+1﹣5＜0，f（2）=e2+2﹣5＞0， 可得f（1）f（2）＜0． 由零点判定定理可知，函数的零点所在区间为：（1，2）． 故选：A． 8. 已知集合，，则下列正确的是（    ） A．         B．         C．         D． 参考答案： B 9. 若成立,则角不可能是           (   ) A.任何象限角                B.第一、二、三象限角 C．第一、二、四象限角      D.第一、三、四象限角 参考答案： C 10. （3分）若集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=（） A． {1} B． {2} C． {3} D． {1，2，3} 参考答案： D 考点： 并集及其运算． 专题： 集合． 分析： 根据集合的并集运算进行求解． 解答： ∵A={1，2}，B={2，3}， ∴A∪B={1，2，3}， 故选：D 点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，当时，，则的取值范围为____________. 参考答案： 略 12. 在中，，那么     ▲      ． 参考答案： 略 13. 函数的值域为       ． 参考答案： (0，3］ 14. 已知函数若，则           . 参考答案： 略 15. 某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h，否则视为违规扣分，某天有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图，如图所示，则违规扣分的汽车大约为_____辆。   参考答案：   120 16. 14．如图是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间内的学生约有   人. 参考答案： 20 略 17. （5分）函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）的值等于=          ． 参考答案： 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 计算题． 分析： 根据所给的三角函数的图象，可以看出函数的振幅和周期，根据周期公式求出ω的值，写出三角函数的形式，根据函数的图象过点（2，2），代入点的坐标，整理出初相，点的函数的解析式，根据周期是8和特殊角的三角函数求出结果． 解答： 由图可知函数f（x）的振幅A=2，周期为8， ∴8= ∴ω= y=2sin（x+φ） ∵函数的图象过点（2，2） ∴2=2sin（2×+φ）=2sin（+φ）=2cosφ ∴cosφ=1 ∴φ=2kπ 当k=0时，φ=0 ∴三角函数的解析式是y=2sinx ∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0 ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）=2sin+2sin+…+2sin=2+2 故答案为：2+2 点评： 本题考查根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象确定函数的解析式，考查特殊角的三角函数值，本题解题的关键是看出要求结果的前八项之和等于0，要理解好函数的中的周期、振幅、初相等概念，本题是一个中档题目． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知圆O：和定点A(2,1)，由圆O外一点向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足． (1) 求实数a、b间满足的等量关系； (2) 求线段PQ长的最小值； (3) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程． 参考答案： （1）连为切点，，由勾股定理有 . 又由已知，故. 即：. 化简得实数a、b间满足的等量关系为：.   …………4分 （2）由，得. =. 故当时，即线段PQ长的最小值为  …………8分  （3）设圆P 的半径为， 圆P与圆O有公共点，圆 O的半径为1， 即且. 而， 故当时，…………12分 此时, ，. 得半径取最小值时圆P的方程为．     …………14分 19. （本小题满分12分） 求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程。 参考答案： 设所求的方程为 则圆心到直线的距离为 ，即     (1) ----4分 由于所求圆和轴相切，     (2) ----2分 又圆心在直线上，      (3) ----2分 联立（1）（2）（3）解得或----10分 故所求圆的方程是或 ------12分   20. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<) 的部分图象如图所示． (1)试确定f(x)的解析式； (2)若f()＝，求cos(－a)的值．   参考答案： (1)由题图可知A＝2，＝－＝， ∴T＝2，ω＝＝π. 将点P(，2)，代入y＝2sin(ωx＋φ)， 得sin(＋φ)＝1. 又|φ|<，∴φ＝. 故所求解析式为f(x)＝2sin(πx＋)(x∈R)． (2)∵f()＝，∴2sin(＋)＝， 即sin(＋)＝. ∴cos(－a)＝cos[π－2(＋)] ＝－cos2(＋)＝2sin2(＋)－1＝－.   略 21. （8分）如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段B1D1的中点． （Ⅰ）求证：BM∥平面D1AC； （Ⅱ）求证：D1O⊥平面AB1C． 参考答案： 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 证明题． 分析： （Ⅰ）欲证BM∥平面D1AC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BM与平面D1AC内一直线平行，连接D1O，易证四边形D1OBM是平行四边形，则D1O∥BM，D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC，满足定理所需条件； （Ⅱ）欲证D1O⊥平面AB1C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证D1O与平面AB1C内两相交直线垂直，连接OB1，根据勾股定理可知OB1⊥D1O，AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，满足定理所需条件． 解答： （Ⅰ）连接D1O，如图， ∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BDD1B1是矩形， ∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O∥BM．（3分） ∵D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC， ∴BM∥平面D1AC．（7分） （Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，， ∴，OB1=2，D1O=2， 则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．（10分） ∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D， ∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O?平面BDD1B1， ∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O， ∴D1O⊥平面AB1C．（14分） 点评： 本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题． 22. 设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有，且当x>0时，01； （2）判断f(x)在R上的单调性； （3）设集合A＝，B，若A∩B＝，求的取值范围。 参考答案： (1)由f(m+n)=f(m)f(n)，令m=1,n=0， 则f(1)=f(1)f(0)，且由x>0时，00，∴f(0)=f(x)f(－x)，∴f(x)＝>1     …4分 (2)由（1）及已知,对任意实数x都有f(x)>0，             ……5分 设x10，∴0f(1)，∴f(x2+y2)>f(1)，由f(x)单调性知x2+y2<1，…9分 又f(ax－y+2)=1=