湖南省常德市黄婆中学高三数学理月考试题含解析

湖南省常德市黄婆中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数的图像关于点对称，则=（        ） A，1        B，-1         C，2         D，-2 参考答案： C 2. 函数的定义域为（    ）  A．        B．         C．       D． 参考答案： C 3. 已知命题则   A       B   C      D 参考答案： 答案：C 4. 一个算法的程序框图如右，则其输出结果是 A.0            B.       C.        D. 参考答案： C 5. 已知圆x2+y2=1与圆(x－3)2+y2=r2(r＞0)相外切，那么r等于 A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 6. 如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（   ） A.            B.              C.            D.   参考答案： B 7. 已知直线与直线，记.是两条直线与直线平行的  (     ) A．充分不必要条件； B．必要不充分条件 ； C．充要条件；      D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 8. 若函数是周期为的奇函数，则f（x）可以是 A.cosx              B.       sinx           C.       cos2x              D.sin2x 参考答案： B 9. “ ”是“为等腰三角形”的（   ）    A. 充分不必要条件    B.必要不充分条件   C.充要条件  D.既不充分也不必要条件 参考答案： D 10. 函数的图象大致是 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为________． 参考答案： 5 12. 若函数y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______． 参考答案： 4   略 13. （5分） 已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围　　． 参考答案： （﹣，﹣2）∪（2，） 【考点】： 函数单调性的性质． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： 解法一：不等式即 ln（x2﹣4）+＜2，令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2 ①．令h（t）=lnt+2t，由函数h（t）的单调性可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围． 解法二：根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，f（1）=2，由不等式可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围． 解：解法 一：∵函数f（x）=lnx+2x，∴f（x2﹣4）=ln（x2﹣4）+， ∴不等式即 ln（x2﹣4）+＜2． 令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2 ①． 令h（t）=lnt+2t，显然函数h（t）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=2， ∴由不等式①可得t＜1，即 x2﹣4＜1，即x2＜5． 由解得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜， 故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）． 解法二：由于函数f（x）=lnx+2x，∴f（1）=2， 再根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，∴由f（x2﹣4）＜2可得x2﹣4＜1， 求得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜， 故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）． 【点评】： 本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 14. 已知抛物线C：（）的焦点为F，准线l：，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，直线AF的倾斜角为，则|MF|=          ． 参考答案： 5 如图，设准线与x轴交点为B，由于AF的倾斜角为，∴，双，∴ ，又由已知，即，∴.   15. 已知x2+y2≤1，则|x2+2xy﹣y2|的最大值为　　． 参考答案： 【考点】3H：函数的最值及其几何意义． 【分析】由实数x、y满足x2+y2≤1，利用三角函数代换x=cosθ，y=sinθ，结合三角函数知识即可得出． 【解答】解：∵实数x、y满足x2+y2≤1， ∴可设x=cosθ，y=sinθ（θ∈[0，2π））， |x2+2xy﹣y2|=|cos2θ+sin2θ|=|sin（2θ+）|≤，当且仅当|sin（2θ+）|=1，取得最大值． 故答案为：． 16. 在区间[-2，3]上任取一个数a，则函数有极值的概率为       . 参考答案： 2/5 17. 设数列是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即,,,,,,…,将数列中各项按照上小下大、左小右大的原则排场如图所示的等腰直角三角形数表，则       （含的式子表示） 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，且M＝．求矩阵M． 参考答案： 设，则由，得 再由，得 联立以上方程组解得a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，故．……………………… 10分 19. 若a＞0，b＞0且2ab=a+2b+3． （1）求a+2b的最小值； （2）是否存在a，b使得a2+4b2=17？并说明理由． 参考答案： 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（1）利用已知条件用b表示的a，化简所求表达式，利用基本不等式求解最值即可． （2）利用基本不等式求出表达式的最小值，判断是否存在a，b即可． 【解答】解：（1）由条件知a（2b﹣1）=2b+3＞0，．所以．≥2 当且仅当2b﹣1=2，即，a=3时取等，所以a+2b的最小值为6． （2）因为，当且仅当，a=3时取等， 所以a2+4b2≥18，故不存在a，b使得a2+4b2=17． 【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查转化思想，以及计算能力． 20. 已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴的交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 参考答案： （Ⅰ）∵椭圆的左顶点在圆上，∴ 又∵椭圆的一个焦点为，∴ ∴ ∴椭圆的方程为　    ………………４分 （Ⅱ）设，则直线与椭圆方程联立 化简并整理得，      ∴，            ………………５分 由题设知 ∴直线的方程为 令得    ∴点　　        ………………７分 　………………９分 （当且仅当即时等号成立） ∴的面积存在最大值，最大值为1.　　　  ………………12分 21. [选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数． ⑴画出的图像； ⑵当， ，求的最小值． 参考答案： （1）的图像如图所示． ........5分 （2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．..........10分 22. 甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2, 红桃3, 红桃4, 方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． （Ⅰ)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况． （Ⅱ)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？ （Ⅲ）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由． 参考答案： 解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4 ’表示)为： （2，3）、（2，4）、（2，4 ’）、（3，2）、（3，4）、（3，4 ’）、 （4，2）、（4，3）、（4，4 ’）、（ 4 ’，2）、（4 ’，3）（4 ’，4）， 共12种不同情况 （2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4．因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为； （3）由甲抽到牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4 ’，2）、（4 ’，3）5种， 甲胜的概率，乙获胜的概率为．∵＜，   ∴此游戏不公平．                               略