湖南省娄底市杨木洲中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

湖南省娄底市杨木洲中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集U={﹣2，0，1，2}，集合A={x|x2+x﹣2=0}，则?UA=（　　） A．{﹣2，1} B．{﹣2，0} C．{0，2} D．{0，1} 参考答案： C 【考点】1F：补集及其运算． 【分析】由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可． 【解答】解：全集U={﹣2，0，1，2}，集合A={x|x2+x﹣2=0}={﹣2，1}， 则?UA={0，2} 故选：C． 2. 函数的零点个数为     A．0                B．1                C．2                D．3 参考答案： B 由得，在同一坐标系中做出函数的图象，由图象可知两函数的交点有1个，即函数的零点个数为1，选B. 3. 过点P（0,1）与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是                              （     ） A.                           B.      C.                    D.     参考答案： D 略 4. 执行如图所示的程序框图，若输入m=4，t=3，则输出y=（　　） A．183 B．62 C．61 D．184 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 m=4，t=3，y=1，i=3 满足条件i≥0，执行循环体，y=6，i=2 满足条件i≥0，执行循环体，y=20，i=1 满足条件i≥0，执行循环体，y=61，i=0 满足条件i≥0，执行循环体，y=183，i=﹣1 不满足条件i≥0，退出循环，输出y的值为183． 故选：A． 5. 设P是双曲线 (a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝(　　) A．7  B．6 C．5  D．3 参考答案： A 略 6. 已知、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列命题:其中正确命题的个数是   (     )． ①若,则;②若,且则; ③若,则;④若,,且,则. A．1   B．2    C．3   D．4 参考答案： B 略 7. 已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为 （A）5（B）4（C）（D）2 参考答案： B 8. 数，则不等式的解集是 A.   　   B.　 　   C.　  　  D. 参考答案： A 9. 如下图所示，某人拨通了电话，准备手机充值须如下操作 （    ）     A．1-5-1-1          B．1-5-1-5          C．1-5-2-1          D．1-5-2-3 参考答案： C 10. .圆上的点到直线的距离最大值是(   ) (A)2                                 (B)1+  (C)                            (D)1+ 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正实数，且，则的最小值为               参考答案： 12. 已知幂函数y=f（x）的图象过点，则=　　． 参考答案： 2 略 13. 集合，在A中任取一个元素m和在B中任取一个元素n，则所取两数的概率是                  。 参考答案： 略 14. 若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为　　． 参考答案： 2   考点： 二次函数的性质；函数奇偶性的性质．3804980 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 依题意，可求得a=0，从而可得y==|x|+，利用基本不等式即可求得所求函数的最小值． 解答： 解：∵f（x）=x2+ax+1是偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）， ∴a=0． ∴f（x）=x2+1， ∴y==|x|+≥2（当且仅当x=±1时取“=”）． ∴函数y=的最小值为2． 故答案为：2． 点评： 本题考查基本不等式，考查函数的奇偶性，求得a=0是关键，属于中档题． 15. 若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为　　． 参考答案： 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】设向量，的夹角为θ，根据向量的数量积公式计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵为单位向量，即， ∴4﹣4cosθ+1=2， ∴． 故答案为：． 16. 函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是　　　　　　． 参考答案： π 考点： 二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 分析： 根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期． 解答： 解：∵sin2x=2sinxcosx ∴f（x）=sinxcosx=sin2x， 因此，函数f（x）的最小正周期T==π 故答案为：π 点评： 本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题． 17. 已知，则=    ． 参考答案： 6 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分13分) 某企业有两个生产车间，分别位于边长是的等边三角形的顶点处（如图），现要在边上的点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库．已知叉车每天要往返车间5次，往返车间20次，设叉车每天往返的总路程为.（注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库） (Ⅰ）按下列要求确定函数关系式： ①设长为，将表示成的函数关系式； ②设，将表示成的函数关系式. (Ⅱ）请你选用(Ⅰ）中一个合适的函数关系式，求总路程 的最小值，并指出点的位置． B A C D 参考答案： 解：(Ⅰ）①在中，，，， 由余弦定理，， 所以．………………3分 B A C D ②在中，，，，  . 由正弦定理，， 得，， 则．  …………6分 (Ⅱ）选用(Ⅰ）中的②的函数关系式，， ， 由得，，记， 则当时，，；当时，，； 所以当，时，总路程最小值为， 此时，， 答：当时，总路程最小,最小值为． ………………13分 19. (本小题满分12分) 在平面直角坐标系中，已知点.  (1)求以线段为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)在直线上是否存在一点，使？若存在求出点坐标，若不存在请说明理由. 参考答案： (2)存在(1), 略 20. （本题满分12分）已知函数。 （1）求函数在区间上的零点； （2）设，求函数的图像的对称轴方程。 参考答案： （1）令，得，  …………………………（2分） 所以. …………………………………………………（4分） 由，得， ……………………………………………（5分） 由，， 得， ……………………………………………………………………（6分） 综上，的零点为或. ………………………………………（7分） （2）， …………………………………………（9分） 由得， …………………………………（11分） 即函数的图象的对称轴方程为：. …………………（12分） 21. 函数y=2x和y=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2． （1）设曲线C1，C2分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C1，C2对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围； （2）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值． 参考答案： 【考点】根据实际问题选择函数类型；函数恒成立问题． 【分析】（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x ，不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0，等价于k?23x＜2x，利用分离参数法，可求k的取值范围； （2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2x﹣x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，根据零点存在定理，可得两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10），由此可得a，b的值． 【解答】解：（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x 不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0，等价于k?23x＜2x，则k＜4﹣x对任意x∈（0，1）恒成立 ∵，∴ （2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2x﹣x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点， 由于φ（1）=1＞0，φ（2）=﹣4＜0，φ（9）=29﹣93＜0，φ（10）=210﹣103＞0， 则方程φ（x）=f（x）﹣g（x）的两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10）， 因此整数a=1，b=9． 22. 已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AB=4，AD=3，F为BC中点，EF∥AB，EF与AD交于点E，沿EF将四边形EFCD折起，使得平面ABFE⊥平面EFCD，连接AD，BC，AC． （1）求证：BE∥平面ACD； （2）求三棱锥的B﹣ACD体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）连结AF交BE于O，则O为AF中点，设G为AC中点，连结OG，DG，推导出四边形DEOG为平行四边形，则BE∥DG，由此能证明BE∥平面ACD． （2）点C到平面ACD的距离和点F到平面ACD的距离相等，均为2，从而三棱锥的B﹣ACD体积VB﹣ACD=VE﹣ACD=VC﹣ADE，由此能求出结果． 【解答】证明：（1）连结AF交BE于O， 则O为AF中点，设G为AC中点， 连结OG，DG，则OG∥CF，且OG=CF． 由已知DE∥CF，且DE=CF． ∴DE∥OG，且DE=OG，∴四边形DEOG为平行四边形． ∴EO∥DG，即BE∥DG． ∵BE?平面ACD，DG?平面ACD， ∴BE∥平面ACD． 解：（2）∵CF∥DE，∴CF∥平面ACD， ∴点C到平面ACD的距离和点F到平面ACD的距离相等，均为2． ∴三棱锥的B﹣ACD体积VB﹣ACD=VE﹣ACD=VC﹣ADE ==．