山东省威海市实验中学高二数学理联考试题含解析

山东省威海市实验中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 集合，，则（     ）  A。              B。             C。            D。 参考答案： C                                                     略 2. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，，，则（    ） A．90 B．54 C．－54 D．－72 参考答案： C 因为，所以，，，，故答案为C． 3. p：?x0∈R，x+m≤0，q：?x∈R，x2+mx+1＞0，如果p，q都是命题且（￢p）∨q为假命题，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤﹣2 B．﹣2≤m≤0 C．0≤m≤2 D．m≥2 参考答案： A 【考点】复合命题的真假． 【分析】p：?x0∈R，x+m≤0，可得m≤，因此m≤0．可得￢p．q：?x∈R，x2+mx+1＞0，△＜0，解得m范围．即可得出（￢p）∨q． 【解答】解：p：?x0∈R，x+m≤0，∴m≤，因此m≤0．∴￢p：m＞0． q：?x∈R，x2+mx+1＞0，△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2． ∴（￢p）∨q为：﹣2＜m． 如果p，q都是命题且（￢p）∨q为假命题， ∴m≤﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4. 已知a ,b ,m∈R ，则下面推理中正确的是（  ）                       A．a>b                  B．   C．      D. 参考答案： C 5. 设（1+i)=1+,其中x，y为实数，则=（    ） A. 1 B. C. D. 2 参考答案： B 【分析】 根据复数相等的充要条件，求得，再由复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意知，复数满足，可得，解得， 所以，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数相等的充要条件，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数相等的充要条件和复数模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 如图，在中△ABC，∠CBA=∠CAB=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（　　） A． B．1 C．2 D．2 参考答案： A 【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质． 【分析】根据题意设出AB，进而根据椭圆的定义可求得a和c的关系式，求得椭圆的离心率．进而利用双曲线的性质，求得a和c关系，求得双曲线的离心率，然后求得二者离心率倒数和． 【解答】解：设|AB|=2c，则在椭圆中，有c+c=2a， ==， 而在双曲线中，有c﹣c=2a， ==， ∴+=+= 故选A 7. 双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程是(  )． (A)    (B) (C)    (D) 参考答案： B 8. 方程表示的曲线是 (    ) A.两条射线和一个圆         B.一条直线和一个圆           C.一条射线和一个半圆       D.两条射线和一个半圆 参考答案： A 略 9. 定义为n个正数p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又，则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】类比推理． 【专题】新定义；点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】由已知得a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得通项an，最后利用裂项法，即可求和． 【解答】解：由已知得， ∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立， ∴an=4n﹣1， ∴， ∴ ∴=+（）+…+（）=1﹣=． 故选C． 【点评】本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键． 10. 函数的单调递增区间是 A.      B.(0,3)   C.(1,4)     D. w.w.w.　　　 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若曲线 C1：y=x2与曲线 C2：y=aex（a≠0）存在公共切线，则a的取值范围为　　． 参考答案： （﹣∞，0）∪（0，] 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m=2n﹣2，则4n﹣4=aen有解．再由导数即可进一步求得a的取值． 【解答】解：y=x2在点（m，m2）的切线斜率为2m， y=aex在点（n，aen）的切线斜率为aen， 如果两个曲线存在公共切线，那么：2m=aen． 又由斜率公式得到，2m=， 由此得到m=2n﹣2， 则4n﹣4=aen有解． 由y=4x﹣4，y=aex的图象有交点即可． 设切点为（s，t），则aes=4，且t=4s﹣4=aes， 即有切点（2，4），a=， 故a的取值范围是：a≤且a≠0． 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，]． 12. 与曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程是          参考答案： 13. 正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为　   　． 参考答案： 36π 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；作图题． 【分析】画出图形，正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积． 【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上， 记为O，PO=AO=R，PO1=4，OO1=R﹣4，或OO1=4﹣R（此时O在PO1的延长线上）， 在Rt△AO1O中，R2=8+（R﹣4）2得R=3，∴球的表面积S=36π 故答案为：36π 【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题． 14. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系中（在直角坐标系中，以O为极点，以轴正半轴为极轴），曲线的方程为，若与有且只有一个公共点，则=                    . 参考答案： 15. 如果的展开式中系数绝对值最大的项是第4项，则的系数为      。 参考答案： －6 16. 若，则=             . 参考答案： 3 17. 将正方形沿对角线折成直二面角,有如下四个结论: ①                             ②是等边三角形 ③与平面成的角               ④与所成的角为 其中真命题的编号是                (写出所有真命题的编号) w. 参考答案： ①②④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （13分）已知数列的前项和为，且满足． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为．求满足不等式   的的最小值． 参考答案： (1)因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)． 两式相减，得an＝2an－1＋1. 所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{an＋1}为等比数列． 因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1. (2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n. 所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， ① 2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， ② ①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1 19. （本小题满分12分） 已知函数有三个极值点。 （I）证明：； （II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。 参考答案： 解：（I）因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根. ……………………1分         设则         当时， 在上为增函数;         当时， 在上为减函数;         当时， 在上为增函数;        所以函数在时取极大值,在时取极小值. ……………………3分        当或时,最多只有两个不同实根.        因为有三个不同实根, 所以且.        即,且, 解得且故.……………………5分     （II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.          不妨设为（），则          所以的单调递减区间是,          若在区间上单调递减， 则, 或,……………………………………6分   若,则.由（I）知，,于是   若,则且.由（I）知，          又当时，;…………8分          当时，.          因此, 当时，所以且 即故或反之, 当或时， 总可找到使函数在区间上单调递减. ……………………11分 综上所述, 的取值范围是.………………………………………12分 20. （本小题满分12分）求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行； （2）经过点B（2，-3），且平行于过点M（1，2）和N（-1，-5）的直线； （3）经过点C（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直. 参考答案： 解：（1）由直线4x+y-2=0得直线的斜率为-4，                  （2分） 所以经过点A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行的直线方程为 y-2=-4(x-3)，即4x+y-14=0.                                    （4分） （2）由已知，经过两点M（1，2）和N（-1，-5）的直线的斜率 ，                                            （6分） 所以，经过点B（2，-3），且平行于MN的直线方程为 ，即7x-2y-20=0.                               （8分） （3）由直线2x+y-5=0得直线的斜率为-2，                     （9分） 所以与直线2x+y-5=0垂直的直线的斜率为.                   （10分） 所以，经过点C（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为 ，即x-2y-3=0.                                   （12分）   略 21. （本题12分）已知数列…,…,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。 参考答案： （2）假设当n=k(k)时猜想成立，即       那么， == == 所以，当n=k+1时猜想也成立。根据（1）和（2），可知猜想对任何n都成立。 22. 用二分法求方程在上的近似解，精确到，写出算法。画出流程图，并写出算法语句. 参考答案： 解析：算法如下： 1、取中点，将区间一分为二 2、若，则就是方程的根；否则所求根在的左侧或右侧 若