山东省济南市济宁师范专科学校附属高级中学高三数学理测试题含解析

山东省济南市济宁师范专科学校附属高级中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若复数，则复数对应的点在（   ） A．第一象限         B．第二象限       C．第三象限        D．第四象限 参考答案： C 因为复数 ，所以，对应点坐标为(,)，由此复数对应的点在第三象限，故选C.   2. 设P＝{y | y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y | y＝2x，x∈R}，则 (A) PQ                                 (B) QP (C)  R PQ                            (D) Q R 参考答案： C 3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】几何体是三棱锥，根据三视图知最里面的面与底面垂直，高为2，结合直观图判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为2，如图： 其中OA=OB=OC=2，SO⊥平面ABC，且SO=2， 其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x， 则=2﹣x?x=，∴外接球的半径R=， ∴几何体的外接球的表面积S=4π×=π． 故选：D． 4. 已知是函数图象的一个最高点,是与相邻的两个最低点．若，则的图象对称中心可以是 （A）　　　（B）　　　（C） 　　　（D） 参考答案： C 【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等. 【试题简析】如图，取的中点，连结，则，设，则，由余弦定理可得，，解得，，的中点都是图象的对称中心.故选. 【错选原因】错选A：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是             错选B：误把最高点的2当成了周期；             错选D：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点. 5. 设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|最小值为 A．      B.      C.        D. 参考答案： B 略 6. 将函数的图象向右平移 个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是 （    ）       参考答案： D 7. 函数f(x)=2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是（   ） A．             B．                  C． D． 参考答案： B 函数 的值域为 ，即 ， 则在区间上随机取一个数 的概率 ． 故选B． 8. 向量在正方形网格中的位置如图所示，则 （A）    （B）  （C）     （D）           参考答案： C 考点：平面向量基本定理 因为 故答案为：C 9. 在三棱锥A - BCD中，△ACD与△BCD都是边长为2的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 参考答案： A 取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF， 由题意知AF⊥BF，AF=BF，EF＝易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2， 求得R2＝，所以其表面积为 故选A   10. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质． 【分析】根据y=Asin（ωx+?）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=sin（x+），由x+=kπ，k∈z，可得对称中心的横坐标，从而得出结论． 【解答】解：∵， ∴由，∴， 令． 故选：C． 【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，正弦函数的对称中心，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知是函数在内的两个零点，则     . 参考答案： 因为，其中 （），由函数在内的两个零点，知方程在内有两个根，即函数与的图象在内有两个交点，且关于直线对称，所以＝，所以. 12. 已知函数，．当x∈R时，f（g（x））=　   　，g（f（x））=　   　． 参考答案： 1，0． 【考点】函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由已知条件，利用x∈R的条件，能求出f（g（x）），g（f（x））． 【解答】解：∵f（x）=， g（x）=， ∴x∈R时，f（g（x））=f（1）=1， g（f（x））=g（1）=0． 故答案为：1，0． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的灵活运用． 13. 对于一切实数x，令［x］表示不大于x的最大整数，记f(x)= ［x］，若an=f()(n∈N+),Sn为数列｛an｝的前n项和，则S4n=          ． 参考答案： 2n2-n 略 14. 【题文】已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为                 . 参考答案： 15. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为________. 参考答案： 15 略 16. 若是偶函数,则有序实数对()可以是     . (写出你认为正确的一组数即可). 参考答案： （1，-1）(a+b=0)皆可     17. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且.若当 时，，则__________ 参考答案： 6 【分析】 由条件可得函数是周期为6的周期函数，利用函数周期性和奇偶性进行转化求解即可. 【详解】解：由，可得， 可得为周期为6的周期函数，， 由是定义在R上的偶函数，可得， 且当 时，，可得， 故答案：6. 【点睛】本题主要考查函数的周期性和奇偶性，掌握其性质进行求解是解题的关键. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线的参数方程为，（为参数，且），曲线的极坐标方程为． （）求的极坐标方程与的直角坐标方程． （）若是上任意一点，过点的直线交于点，，求的取值范围． 参考答案： 见解析． 解：（）消去参数可得，由，则，， ∴曲线是在轴上方的部分， ∴曲线的极坐标方程为， 曲线的直角坐标方程为． （）设，则，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为： （为参数）， 代入的直角坐标方程得， 由直线参数方程中的几何意义可知， 因为， ∴． 19. （本小题满分12分） 某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100) 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 （Ⅰ）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率； （Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的概率分布列和数学期望值．   参考答案： （Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为＝，…………………1分 芯片乙为合格品的概率约为＝．…………………2分 （Ⅱ）随机变量的所有可能取值为，…………………………4分 ×＝，×＝， ×＝，×＝，……………8分 所以随机变量的概率分布列为 ……………………………10分 ． 所以随机变量的数学期望值为．…………………………………12分 20. 2017年8月20日起，市交警支队全面启动路口秩序环境综合治理，重点整治机动车不礼让斑马线和行人的行为，经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了20个路口近三个月的车辆违章数据，经统计得如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的设为“重点关注路口”. (1)现从“重点关注路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口的违章车次一个在(30,40]，一个在(40,50]中的概率； (2)现从支队派遣5位交警，每人选择一个路口执勤，每个路口至多1人，违章车次在(40,50]的路口必须有交警去，违章车次在[0,10]的不需要交警过去，设去“重点关注路口”的交警人数为，求的分布列及数学期望. 参考答案： 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，违章车次在的路口有， 在中的路口有， 设抽出来的路口违章车次一个在，一个在的事件为， 则． （Ⅱ）由题知随机变量可取值2，3，4， 5， ， ， ， ． X 2 3 4 5 P    ． 21. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1与曲线C2的极坐标方程分别为，. （Ⅰ）求直线l的极坐标方程； （Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的一个交点为点A（A不为极点），直线与OA的交点为B，求. 参考答案： （Ⅰ） 【分析】 （Ⅰ）消参得直线的普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可（Ⅱ）利用极坐标的极径的几何意义分别求 ，根据 求解. 【详解】（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数） 消参得：， 由 代入直角坐标方程可得 （Ⅱ）法1：由 得，所以 点的极坐标 ，又点在直线上，所以设的极坐标为  由得，所以， 所以.          法2：曲线与曲线的直角坐标为， 由  得点的坐标   所以直线的方程为 由   得点的坐标为   所以，                       或者：   【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程，利用极坐标中极径求弦长，属于中档题. 22. 已知函数． （1）求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程； （2）讨论函数f(x)在上的单调性． 参考答案： （1）最小正周期π，对称轴方程为，；（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减． 分析：（1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简函数表达式，再利用周期公式和整体思想进行求解；（2）利用整体思想和三角函数的单调性进行求解． 详解：（1） ， 因为，所以最小正周期， 令，所以对称轴方程为，． （2）令，得，， 设，， 易知， 所以，当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减． 【名师点睛】本题考查二倍角公式、两角和公式、辅助角公式、三角函数的图象和性质等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力．